ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите координаты точки параболы \(y = -x^2 + 9x + 9\), у которой: 1) абсцисса и ордината равны; 2) сумма абсциссы и ординаты равна 25.

1) Пусть \(x = y\), тогда \(x = -x^2 + 9x + 9\), \(x^2 — 8x — 9 = 0\).
\(D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100\)
\(x_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9\)
Ответ: \((-1; -1)\), \((9; 9)\)

2) Пусть \(x + y = 25\), тогда \(y = 25 — x\),
\(25 — x = -x^2 + 9x + 9\), \(x^2 — 10x + 16 = 0\)
\(D = 10^2 — 4 \cdot 16 = 100 — 64 = 36\)
\(x_1 = \frac{10 — 6}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8\)
\(y_1 = 25 — 2 = 23\), \(y_2 = 25 — 8 = 17\)
Ответ: \((2; 23)\), \((8; 17)\)

1) Пусть абсцисса и ордината равны, то есть \(x = y\). Подставляем это в уравнение параболы: \(y = -x^2 + 9x + 9\). Получаем: \(x = -x^2 + 9x + 9\). Переносим все члены в одну сторону: \(x + x^2 — 9x — 9 = 0\), то есть \(x^2 — 8x — 9 = 0\).

Находим дискриминант: \(D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\).

Выписываем корни по формуле: \(x_1 = \frac{8 — 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9\).

Так как \(x = y\), точки пересечения: \((-1; -1)\) и \((9; 9)\).

2) Пусть сумма абсциссы и ординаты равна 25, то есть \(x + y = 25\). Тогда \(y = 25 — x\). Подставляем это значение в уравнение параболы: \(25 — x = -x^2 + 9x + 9\). Переносим все члены в одну сторону: \(x^2 — 10x + 16 = 0\).

Находим дискриминант: \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 — 64 = 36\).

Выписываем корни по формуле: \(x_1 = \frac{10 — 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8\).

Находим соответствующие значения \(y\): \(y_1 = 25 — 2 = 23\), \(y_2 = 25 — 8 = 17\).

Точки пересечения: \((2; 23)\) и \((8; 17)\).