ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметров \(a\) и \(b\) нулями функции \(y = ax^2 + bx + 7\) являются числа \(-2\) и \(3\)?

Дано: \(y = ax^2 + bx + 7\), нули \(-2\) и \(3\).

Подставим \(-2\): \(0 = a(-2)^2 + b(-2) + 7\), \(0 = 4a — 2b + 7\), \(4a — 2b = -7\).

Подставим \(3\): \(0 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + 7\), \(0 = 9a + 3b + 7\), \(9a + 3b = -7\).

Выразим \(b\) из первого: \(4a — 2b = -7\), \(2b = 4a + 7\), \(b = 2a + 3{,}5\).

Подставим во второе: \(9a + 3(2a + 3{,}5) = -7\), \(9a + 6a + 10{,}5 = -7\), \(15a = -17{,}5\), \(a = -\frac{7}{6}\).

\(b = 2 \cdot -\frac{7}{6} + 3{,}5 = -\frac{14}{6} + \frac{21}{6} = \frac{7}{6}\).

Ответ: \(a = -\frac{7}{6}\), \(b = \frac{7}{6}\)

1. Запишем уравнение: \(y = ax^2 + bx + 7\).
Из условия нули: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 3\).

2. Подставим \(x_1 = -2\):
\(0 = a(-2)^2 + b(-2) + 7\)
\(0 = 4a — 2b + 7\)
\(4a — 2b = -7\)

3. Подставим \(x_2 = 3\):
\(0 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + 7\)
\(0 = 9a + 3b + 7\)
\(9a + 3b = -7\)

4. Получили систему:
\(4a — 2b = -7\)
\(9a + 3b = -7\)

5. Выразим \(b\) из первого уравнения:
\(4a — 2b = -7\)
\(-2b = -4a — 7\)
\(2b = 4a + 7\)
\(b = 2a + 3{,}5\)

6. Подставим \(b\) во второе уравнение:
\(9a + 3(2a + 3{,}5) = -7\)
\(9a + 6a + 10{,}5 = -7\)
\(15a + 10{,}5 = -7\)
\(15a = -7 — 10{,}5\)
\(15a = -17{,}5\)
\(a = -\frac{17{,}5}{15}\)
\(a = -\frac{7}{6}\)

7. Найдём \(b\):
\(b = 2a + 3{,}5\)
\(b = 2 \cdot -\frac{7}{6} + 3{,}5\)
\(b = -\frac{14}{6} + \frac{21}{6}\)
\(b = \frac{7}{6}\)

8. Ответ:
\(a = -\frac{7}{6}\), \(b = \frac{7}{6}\)