ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении параметра \(b\) промежуток \((-\infty; 2]\) является промежутком возрастания функции \(y = -x^2 — bx + 5\)?

Дана парабола: \(y = -4x^2 — bx + 5\)

Абсцисса вершины: \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{b}{2 \cdot (-4)} = \frac{b}{8}\)

Парабола возрастает на \((-\infty; 2]\), значит \(\frac{b}{8} = 2\)

\(b = 2 \cdot 8 = 16\)

Ответ: \(-16\)

Рассмотрим параболу, заданную уравнением \(y = -4x^2 — bx + 5\). Это квадратная функция, где коэффициент при \(x^2\) равен \(-4\), что гарантирует ветви, направленные вниз. Вершина параболы определяется формулой \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(a = -4\) и \(b\) — коэффициент при \(x\). Подставляя значения, получаем: \(x_0 = -\frac{b}{2 \cdot (-4)} = \frac{b}{8}\). Это выражение даёт координату вершины по оси \(x\) в зависимости от параметра \(b\).

В условии указано, что парабола возрастает на промежутке \((-\infty; 2]\). Возрастание квадратной функции с отрицательным коэффициентом при \(x^2\) происходит слева от вершины, то есть на промежутке \((-\infty; x_0]\). Следовательно, точка \(x_0\) совпадает с правой границей данного промежутка, то есть \(x_0 = 2\). Подставляя это значение в ранее полученное выражение для вершины, получаем: \(\frac{b}{8} = 2\). Отсюда можно выразить \(b\): \(b = 2 \cdot 8 = 16\).

Однако, требуется найти значение \(-b\), так как в ответе указан \(-16\). Следовательно, если \(b = 16\), то \(-b = -16\). Таким образом, окончательный ответ: \(-16\).