ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении параметра \(c\) наибольшее значение функции \(y = -5x^2 + 10x + c\) равно \(-3\)?

Дана парабола \(y = -5x^{2} + 10x + c\).

Вершина по \(x\) равна \(x_{0} = -\frac{10}{2 \cdot (-5)} = 1\).

Подставляем \(x_{0}\) в уравнение: \(y_{0} = -5 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1 + c = 5 + c\).

Ветви направлены вниз, так как \(a = -5 < 0\).

Максимальное значение равно \(-3\), значит \(5 + c = -3\).

Отсюда \(c = -8\).

Ответ: \(-8\).

Парабола задана уравнением \(y = -5x^{2} + 10x + c\). Чтобы найти значение \(c\), при котором наибольшее значение функции равно \(-3\), сначала нужно определить координаты вершины параболы. Вершина — это точка, где функция достигает своего максимума или минимума. Координату \(x\) вершины можно найти по формуле \(x_{0} = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) — коэффициенты при \(x^{2}\) и \(x\) соответственно. В нашем случае \(a = -5\), \(b = 10\), поэтому \(x_{0} = -\frac{10}{2 \cdot (-5)} = 1\).

Теперь подставим найденное значение \(x_{0} = 1\) в уравнение параболы, чтобы вычислить ординату вершины \(y_{0}\). Подставляем: \(y_{0} = -5 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1 + c = -5 + 10 + c = 5 + c\). Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) отрицательный (\(a = -5 < 0\)), парабола направлена ветвями вниз, значит вершина — это точка максимума функции. Значит, максимальное значение функции равно \(y_{0} = 5 + c\).

По условию задачи максимальное значение функции равно \(-3\). Приравниваем: \(5 + c = -3\). Решая уравнение, получаем \(c = -3 — 5 = -8\). Таким образом, значение \(c\), при котором парабола достигает максимума \(-3\), равно \(-8\).