ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Могут ли графики квадратичных функций \(y = ax^2 + bx + c\) и \(y = cx^2 + bx + a\) быть расположены так, как показано на рисунке 7.10?

1) Рассмотрим функцию \( y = ax^{2} + bx + c \). Чтобы ветви параболы были направлены вниз, коэффициент при \( x^{2} \) должен быть отрицательным, то есть \( a < 0 \). Пересечение с осью ординат происходит в точке \( (0; c) \). Если точка пересечения находится выше оси абсцисс, значит \( c > 0 \).

2) Аналогично рассмотрим функцию \( y = cx^{2} + bx + a \). Для того чтобы ветви параболы были направлены вниз, должен быть отрицательным коэффициент при \( x^{2} \), то есть \( c < 0 \). Пересечение с осью ординат в этой функции — точка \( (0; a) \). Если точка пересечения выше оси абсцисс, значит \( a > 0 \).

3) Из первых двух пунктов получаем систему неравенств:
\( a < 0 \) и \( a > 0 \) одновременно, что невозможно. Аналогично для \( c \) имеем \( c > 0 \) и \( c < 0 \), что также невозможно.

4) Значит, таких чисел \( a \) и \( c \), которые удовлетворяют всем условиям сразу, не существует. Множество решений пусто, то есть \( a \in \emptyset \) и \( c \in \emptyset \).

Ответ: нет.

Рассмотрим сначала функцию \(y = ax^{2} + bx + c\). В данном случае коэффициент при \(x^{2}\) равен \(a\). Чтобы ветви параболы были направлены вниз, необходимо, чтобы парабола была «обращена» вниз, то есть коэффициент \(a\) должен быть отрицательным: \(a < 0\). Точка пересечения с осью ординат находится там, где \(x = 0\), то есть \(y = c\). Если точка пересечения находится выше оси абсцисс, это значит, что \(c > 0\). Таким образом, для первой функции получаем два условия: \(a < 0\) и \(c > 0\).

Теперь рассмотрим вторую функцию \(y = cx^{2} + bx + a\). Здесь коэффициент при \(x^{2}\) равен \(c\). Для того чтобы ветви параболы были направлены вниз, необходимо, чтобы \(c < 0\). Точка пересечения с осью ординат определяется подстановкой \(x = 0\), получаем \(y = a\). Чтобы эта точка была выше оси абсцисс, должно выполняться \(a > 0\). Таким образом, для второй функции получаем условия: \(c < 0\) и \(a > 0\).

Объединяя оба случая, получаем систему неравенств: одновременно должны выполняться \(a < 0\) и \(a > 0\), а также \(c > 0\) и \(c < 0\). Очевидно, что одно и то же число не может быть одновременно меньше и больше нуля, то есть такие значения \(a\) и \(c\) не существуют. Это противоречие показывает, что не существует ни одного набора чисел \(a\) и \(c\), удовлетворяющих всем условиям задачи. Следовательно, множество решений является пустым, то есть \(a \in \emptyset\) и \(c \in \emptyset\).

Таким образом, ни для каких значений \(a\) и \(c\) не удастся одновременно построить две такие параболы, чтобы обе были направлены вниз и пересекали ось ординат выше оси абсцисс. Это связано с тем, что требования к знакам коэффициентов противоречат друг другу: для первой функции требуется \(a < 0\) и \(c > 0\), а для второй — наоборот, \(c < 0\) и \(a > 0\). В результате множество решений задачи пусто: \(a \in \emptyset\), \(c \in \emptyset\).