ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

О квадратичной функции \(f\) известно, что \(f(-3) = f(7)\). Найдите все значения \(x\), при которых \(f(x) = f(3)\).

Дана функция \( f \), для которой \( f(-3) = f(7) \). Значит вершина параболы находится посередине между -3 и 7, то есть в точке \( x_0 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

Расстояние от точки \( x = 3 \) до вершины равно \( d = 3 — 2 = 1 \).

По симметрии параболы точки, где функция принимает значение \( f(3) \), это \( x = 3 \) и \( x = 3 — 2d = 3 — 2 \cdot 1 = 1 \).

Ответ: \( 1; 3 \).

1. Из условия задачи известно, что \( f(-3) = f(7) \). Это значит, что значения функции в точках \( x = -3 \) и \( x = 7 \) равны. Для квадратичной функции это возможно только если эти точки симметричны относительно оси симметрии параболы.

2. Найдём абсциссу вершины параболы. Она находится посередине между точками \( -3 \) и \( 7 \), то есть

\( x_0 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

3. Теперь рассмотрим точку \( x = 3 \), для которой задано значение функции \( f(3) \).

4. Вычислим расстояние от точки \( 3 \) до вершины параболы \( x_0 = 2 \):

\( d = 3 — 2 = 1 \).

5. Поскольку парабола симметрична относительно оси \( x = 2 \), то значение функции в точках, симметричных относительно вершины, одинаково. Значит, если \( f(x) = f(3) \), то эти точки находятся на расстоянии \( d = 1 \) от вершины, то есть

\( x = 3 \) и \( x = 2 — d = 2 — 1 = 1 \).

6. Таким образом, при \( f(x) = f(3) \) соответствуют точки \( x = 1 \) и \( x = 3 \).

Ответ: \( 1; 3 \).