ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) вершина параболы \(y = x^2 — 4ax + 5a^2 — 3\) равноудалена от осей координат?

Дана парабола: \( y = x^2 — 4ax + 5a^2 — 3 \).

Координаты вершины:

\( x_0 = -\frac{-4a}{2 \cdot 1} = \frac{4a}{2} = 2a \),

\( y_0 = -\frac{(-4a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (5a^2 — 3)}{4 \cdot 1} = -\frac{16a^2 — 20a^2 + 12}{4} = -\frac{-4a^2 + 12}{4} = a^2 — 3 \).

Вершина равноудалена от осей, значит:

\( |2a| = |a^2 — 3| \).

Рассмотрим два случая:

1) \( 2a = a^2 — 3 \Rightarrow a^2 — 2a — 3 = 0 \),

2) \( -2a = a^2 — 3 \Rightarrow a^2 + 2a — 3 = 0 \).

Решаем первое уравнение:

Дискриминант \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \),

Корни:

\( a_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \),

\( a_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \).

Решаем второе уравнение:

Дискриминант \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \),

Корни:

\( a_3 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \),

\( a_4 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \).

Ответ: \( a \in \{-3, -1, 1, 3\} \).

Рассмотрим уравнение параболы \( y = x^2 — 4ax + 5a^2 — 3 \), где параметр \( a \) — неизвестное число. Чтобы понять, как изменяется форма и положение параболы в зависимости от \( a \), сначала найдем координаты её вершины. Вершина параболы — это точка, где функция достигает минимума (если \( a > 0 \)) или максимума (если \( a < 0 \)). Для параболы вида \( y = ax^2 + bx + c \) координата вершины по оси \( x \) вычисляется по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \). В нашем уравнении коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -4a \) (здесь маленькая буква \( a \) — параметр, а большая — коэффициент при \( x^2 \)), \( c = 5a^2 — 3 \). Подставим \( b = -4a \) и \( a = 1 \) в формулу: \( x_0 = -\frac{-4a}{2 \cdot 1} = \frac{4a}{2} = 2a \). Таким образом, абсцисса вершины зависит от параметра \( a \) и равна \( 2a \).

Теперь найдем ординату вершины \( y_0 \). Она вычисляется по формуле \( y_0 = c — \frac{b^2}{4a} \). Подставим наши коэффициенты: \( c = 5a^2 — 3 \), \( b = -4a \), \( a = 1 \). Тогда \( y_0 = 5a^2 — 3 — \frac{(-4a)^2}{4 \cdot 1} = 5a^2 — 3 — \frac{16a^2}{4} = 5a^2 — 3 — 4a^2 = a^2 — 3 \). Значит вершина параболы имеет координаты \( (2a, a^2 — 3) \). Это важно, потому что теперь мы можем анализировать, как меняется положение вершины в зависимости от \( a \).

Далее условие задачи говорит, что вершина равноудалена от осей координат. Расстояние от точки до оси \( y \) равно абсолютному значению её абсциссы, а до оси \( x \) — абсолютному значению ординаты. Значит, по условию, должно выполняться равенство \( |2a| = |a^2 — 3| \). Для решения этого уравнения рассмотрим два случая: первый — когда \( 2a = a^2 — 3 \), второй — когда \( 2a = -(a^2 — 3) \), то есть \( -2a = a^2 — 3 \). В первом случае преобразуем уравнение: \( a^2 — 2a — 3 = 0 \), во втором — \( a^2 + 2a — 3 = 0 \).

Решим первое квадратное уравнение \( a^2 — 2a — 3 = 0 \). Для этого вычислим дискриминант \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \). Корни уравнения находятся по формуле \( a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( b = -2 \), \( a = 1 \). Подставим: \( a_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \), \( a_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \). Аналогично решаем второе уравнение \( a^2 + 2a — 3 = 0 \). Дискриминант тот же: \( D = 16 \). Корни: \( a_3 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \), \( a_4 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \).

В итоге получаем четыре значения параметра \( a \), при которых вершина параболы равноудалена от осей координат: \( a \in \{-3, -1, 1, 3\} \). Это значит, что для этих значений парабола расположена так, что её вершина находится на одинаковом расстоянии от оси \( x \) и оси \( y \).