ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) вершина параболы \(y = x^2 — 6ax + 4 + 8a^2\) находится во второй четверти?

Дана парабола \( y = x^2 — 6ax + 4 + 8a^2 \).

Координата вершины по \( x \) равна \( x_0 = -\frac{-6a}{2 \cdot 1} = \frac{6a}{2} = 3a \).

Координата вершины по \( y \) равна \( y_0 = (3a)^2 — 6a \cdot 3a + 4 + 8a^2 = 9a^2 — 18a^2 + 4 + 8a^2 = 4 — a^2 \).

Вершина во второй четверти, если \( x_0 < 0 \) и \( y_0 > 0 \).

\( 3a < 0 \Rightarrow a < 0 \).

\( 4 — a^2 > 0 \Rightarrow a^2 < 4 \Rightarrow -2 < a < 2 \).

Объединяем: \( -2 < a < 0 \).

Ответ: \( a \in (-2; 0) \).

1) Дана парабола \( y = x^2 — 6ax + 4 + 8a^2 \). Чтобы найти координаты вершины, используем формулы для квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = 1 \), \( b = -6a \), \( c = 4 + 8a^2 \).

Координата вершины по оси \( x \) равна \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6a}{2 \cdot 1} = \frac{6a}{2} = 3a \).

2) Теперь найдём координату вершины по оси \( y \), подставив \( x_0 = 3a \) в уравнение параболы:

\( y_0 = (3a)^2 — 6a \cdot (3a) + 4 + 8a^2 = 9a^2 — 18a^2 + 4 + 8a^2 \).

Сложим подобные члены: \( 9a^2 — 18a^2 + 8a^2 = (9 — 18 + 8) a^2 = -1 a^2 \).

Итого: \( y_0 = 4 — a^2 \).

3) Для того чтобы вершина была во второй четверти, должны выполняться условия: \( x_0 < 0 \) и \( y_0 > 0 \).

Подставим значения:

\( 3a < 0 \Rightarrow a < 0 \),

\( 4 — a^2 > 0 \Rightarrow a^2 < 4 \Rightarrow -2 < a < 2 \).

4) Объединяем оба условия:

\( a < 0 \) и \( -2 < a < 2 \) дают \( -2 < a < 0 \).

Ответ: \( a \in (-2; 0) \).