ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях коэффициентов \(p\) и \(q\) вершина параболы \(y = x^2 + px + q\) находится в точке \(A(2; 5)\)?

Дана парабола \(y = x^2 + px + q\).

Координаты вершины: \(x_0 = -\frac{p}{2}\), \(y_0 = q — \frac{p^2}{4}\).

Вершина в точке \(A(2; 5)\), значит:

\(-\frac{p}{2} = 2 \Rightarrow p = -4\),

\(q — \frac{(-4)^2}{4} = 5 \Rightarrow q — 4 = 5 \Rightarrow q = 9\).

Ответ: \(p = -4\), \(q = 9\).

1. Дана парабола \(y = x^2 + px + q\). Нам известно, что вершина этой параболы находится в точке \(A(2; 5)\).

2. Формула для координаты вершины параболы вида \(y = ax^2 + bx + c\) такая: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), \(y_0 = c — \frac{b^2}{4a}\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = p\), \(c = q\).

3. Подставляем наши значения: \(x_0 = -\frac{p}{2}\), \(y_0 = q — \frac{p^2}{4}\).

4. По условию вершина находится в точке \(A(2; 5)\), значит \(x_0 = 2\) и \(y_0 = 5\).

5. Из первого равенства получаем: \(-\frac{p}{2} = 2\). Умножаем обе части на \(-2\), получаем \(p = -4\).

6. Из второго равенства: \(q — \frac{p^2}{4} = 5\). Подставляем найденное \(p\): \(q — \frac{(-4)^2}{4} = 5\).

7. Вычисляем степень: \((-4)^2 = 16\), значит уравнение становится \(q — \frac{16}{4} = 5\).

8. Считаем дробь: \(\frac{16}{4} = 4\), тогда \(q — 4 = 5\).

9. Прибавляем 4 к обеим частям уравнения: \(q = 9\).

10. Ответ: \(p = -4\), \(q = 9\).