ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вершина параболы \(y = ax^2 + bx + c\) находится в точке \(C(4; -10)\), парабола проходит через точку \(D(1; -1)\). Найдите значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).

Дана парабола \(y = ax^2 + bx + c\).

Абсцисса вершины параболы \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Вершина в точке \(C(4; -10)\), значит \(-\frac{b}{2a} = 4\), откуда \(-b = 8a\), то есть \(b = -8a\).

Подставим \(x = 4\) и \(y = -10\) в уравнение: \(a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c = -10\). Получаем \(16a + 4b + c = -10\). Подставляем \(b = -8a\): \(16a + 4(-8a) + c = -10\), то есть \(16a — 32a + c = -10\), откуда \(c = 16a — 10\).

Парабола проходит через точку \(D(1; -1)\), значит \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = -1\). Подставим \(b = -8a\), \(c = 16a — 10\): \(a — 8a + 16a — 10 = -1\), то есть \(9a — 10 = -1\), откуда \(9a = 9\), значит \(a = 1\).

Тогда \(b = -8 \cdot 1 = -8\) и \(c = 16 \cdot 1 — 10 = 6\).

Ответ: \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 6\).

Рассмотрим уравнение параболы вида \(y = ax^{2} + bx + c\). По условию задачи известно, что вершина параболы находится в точке \(C(4; -10)\). Вершина параболы для общего уравнения находится по формуле абсциссы вершины: \(x_{0} = -\frac{b}{2a}\). Поскольку по условию \(x_{0} = 4\), подставим это значение в формулу: \(-\frac{b}{2a} = 4\). Чтобы избавиться от знаменателя, умножаем обе части на \(2a\): получаем \(-b = 8a\). Отсюда следует, что \(b = -8a\). Это выражение позволит нам далее выразить все коэффициенты через одну переменную \(a\).

Теперь воспользуемся тем, что вершина параболы имеет координаты \(C(4; -10)\). Подставим \(x = 4\) и \(y = -10\) в исходное уравнение параболы: \(a \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + c = -10\). Из предыдущего шага мы знаем, что \(b = -8a\), поэтому подставляем это значение: \(16a + 4(-8a) + c = -10\). Раскроем скобки и приведем подобные: \(16a — 32a + c = -10\). Сложив коэффициенты при \(a\), получаем \(-16a + c = -10\). Переносим \(-16a\) в правую часть: \(c = 16a — 10\). Таким образом, теперь у нас есть выражения для \(b\) и \(c\) через \(a\).

Далее используем третье условие: парабола проходит через точку \(D(1; -1)\). Это означает, что если \(x = 1\), то \(y = -1\). Подставим эти значения в уравнение: \(a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + c = -1\). В предыдущих шагах мы уже выразили \(b\) и \(c\) через \(a\): \(b = -8a\), \(c = 16a — 10\). Подставляем их: \(a — 8a + 16a — 10 = -1\). Приведем подобные: \((a — 8a + 16a) = 9a\), поэтому получаем \(9a — 10 = -1\). Переносим \(-10\) в правую часть: \(9a = 9\). Делим обе части на 9: \(a = 1\).

Теперь, когда значение \(a\) найдено, подставим его в выражения для \(b\) и \(c\): \(b = -8 \cdot 1 = -8\), \(c = 16 \cdot 1 — 10 = 6\). Значит, окончательно параметры параболы равны: \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 6\). Таким образом, уравнение параболы принимает вид \(y = x^{2} — 8x + 6\), где коэффициенты определены на основании всех условий задачи.