ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции: 1) \(y = x^2 — 4x — 5\); 2) \(y = -x^2 + 2x + 3\); 3) \(y = 6x — x^2\); 4) \(y = x^2 — 8x + 8\); 5) \(y = x^2 — 2x + 4\); 6) \(y = x^2 + 3x — 4\).

1) \(y = x^{2} — 4x — 5\)

Вершина: \(x_0 = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\), \(y_0 = 2^{2} — 4 \cdot 2 — 5 = 4 — 8 — 5 = -9\)

Ветви вверх, \(a = 1 > 0\)

Пересечение с осью \(x\): \(x^{2} — 4x — 5 = 0\), \(D = 16 + 20 = 36\), \(x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5\)

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = -5\)

2) \(y = -x^{2} + 2x + 3\)

Вершина: \(x_0 = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = 1\), \(y_0 = -1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\)

Ветви вниз, \(a = -1 < 0\)

Пересечение с осью \(x\): \(-x^{2} + 2x + 3 = 0\), \(x^{2} — 2x — 3 = 0\), \(D = 4 + 12 = 16\), \(x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\)

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = 3\)

3) \(y = 6x — x^{2}\)

Вершина: \(x_0 = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3\), \(y_0 = 6 \cdot 3 — 3^{2} = 18 — 9 = 9\)

Ветви вниз, \(a = -1 < 0\)

Пересечение с осью \(x\): \(6x — x^{2} = 0\), \(x(6 — x) = 0\), \(x_1 = 0\), \(x_2 = 6\)

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = 0\)

4) \(y = x^{2} — 8x + 8\)

Вершина: \(x_0 = \frac{8}{2 \cdot 1} = 4\), \(y_0 = 4^{2} — 8 \cdot 4 + 8 = 16 — 32 + 8 = -8\)

Ветви вверх, \(a = 1 > 0\)

Пересечение с осью \(x\): \(x^{2} — 8x + 8 = 0\), \(D = 64 — 32 = 32\), \(x_1 = 4 — 2\sqrt{2}\), \(x_2 = 4 + 2\sqrt{2}\)

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = 8\)

5) \(y = x^{2} — 2x + 4\)

Вершина: \(x_0 = \frac{2}{2 \cdot 1} = 1\), \(y_0 = 1^{2} — 2 \cdot 1 + 4 = 1 — 2 + 4 = 3\)

Ветви вверх, \(a = 1 > 0\)

Пересечение с осью \(x\): \(x^{2} — 2x + 4 = 0\), \(D = 4 — 16 = -12\), \(x \in \emptyset\)

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = 4\)

6) \(y = x^{2} + 3x — 4\)

Вершина: \(x_0 = \frac{-3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2}\), \(y_0 = (-\frac{3}{2})^{2} + 3 \cdot (-\frac{3}{2}) — 4 = \frac{9}{4} — \frac{9}{2} — 4 = \frac{9}{4} — \frac{18}{4} — \frac{16}{4} = -\frac{25}{4}\)

Ветви вверх, \(a = 1 > 0\)

Пересечение с осью \(x\): \(x^{2} + 3x — 4 = 0\), \(D = 9 + 16 = 25\), \(x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\)

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = -4\)

1) \(y = x^{2} — 4x — 5\)

Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -5\).

Вершина параболы: \(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\).

Вычисляем ординату вершины: \(y_0 = (2)^{2} — 4 \cdot 2 — 5 = 4 — 8 — 5 = -9\).

Ветви параболы направлены вверх, так как \(a > 0\).

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = (0)^{2} — 4 \cdot 0 — 5 = -5\).

Пересечение с осью \(x\): \(x^{2} — 4x — 5 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).

\(x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5\).

2) \(y = -x^{2} + 2x + 3\)

Коэффициенты: \(a = -1\), \(b = 2\), \(c = 3\).

Вершина параболы: \(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = 1\).

Вычисляем ординату вершины: \(y_0 = -(1)^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\).

Ветви параболы направлены вниз, так как \(a < 0\).

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = -(0)^{2} + 2 \cdot 0 + 3 = 3\).

Пересечение с осью \(x\): \(-x^{2} + 2x + 3 = 0\) или \(x^{2} — 2x — 3 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-2)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\).

\(x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\).

3) \(y = 6x — x^{2}\)

Коэффициенты: \(a = -1\), \(b = 6\), \(c = 0\).

Вершина параболы: \(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3\).

Вычисляем ординату вершины: \(y_0 = 6 \cdot 3 — (3)^{2} = 18 — 9 = 9\).

Ветви параболы направлены вниз, так как \(a < 0\).

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = 6 \cdot 0 — (0)^{2} = 0\).

Пересечение с осью \(x\): \(6x — x^{2} = 0\), \(x(6 — x) = 0\), \(x_1 = 0\), \(x_2 = 6\).

4) \(y = x^{2} — 8x + 8\)

Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 8\).

Вершина параболы: \(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{2} = 4\).

Вычисляем ординату вершины: \(y_0 = (4)^{2} — 8 \cdot 4 + 8 = 16 — 32 + 8 = -8\).

Ветви параболы направлены вверх, так как \(a > 0\).

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = (0)^{2} — 8 \cdot 0 + 8 = 8\).

Пересечение с осью \(x\): \(x^{2} — 8x + 8 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-8)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 — 32 = 32\).

\(x_1 = \frac{8 — \sqrt{32}}{2} = 4 — 2\sqrt{2}\), \(x_2 = \frac{8 + \sqrt{32}}{2} = 4 + 2\sqrt{2}\).

5) \(y = x^{2} — 2x + 4\)

Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 4\).

Вершина параболы: \(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2} = 1\).

Вычисляем ординату вершины: \(y_0 = (1)^{2} — 2 \cdot 1 + 4 = 1 — 2 + 4 = 3\).

Ветви параболы направлены вверх, так как \(a > 0\).

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = (0)^{2} — 2 \cdot 0 + 4 = 4\).

Пересечение с осью \(x\): \(x^{2} — 2x + 4 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-2)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 — 16 = -12\).

Корней нет, \(x \in \emptyset\).

6) \(y = x^{2} + 3x — 4\)

Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -4\).

Вершина параболы: \(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2}\).

Вычисляем ординату вершины: \(y_0 = (-\frac{3}{2})^{2} + 3 \cdot (-\frac{3}{2}) — 4 = \frac{9}{4} — \frac{9}{2} — 4 = \frac{9}{4} — \frac{18}{4} — \frac{16}{4} = -\frac{25}{4}\).

Ветви параболы направлены вверх, так как \(a > 0\).

Пересечение с осью \(y\): \(y(0) = (0)^{2} + 3 \cdot 0 — 4 = -4\).

Пересечение с осью \(x\): \(x^{2} + 3x — 4 = 0\).

Дискриминант: \(D = 3^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\).

\(x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\).