ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите ординату вершины параболы, фрагмент которой изображён на рисунке 7.12.

Функция имеет нули \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\), значит \(y = a(x + 1)(x — 1) = a(x^2 — 1)\).

Функция проходит через точку \(C(2; 3)\), подставляем: \(a(2^2 — 1) = 3\), значит \(3a = 3\), откуда \(a = 1\).

Тогда функция \(y = x^2 — 1\).

Ордината вершины параболы \(y_0 = -\frac{D}{4a} = -\frac{0^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-1)}{4 \cdot 1} = -\frac{-4}{4} = -(-1) = -1\).

Ответ: \(-1\).

Нули функции \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\) означают, что график пересекает ось абсцисс в этих точках. Стандартная форма записи квадратичной функции, имеющей данные нули, выглядит как \(y = a(x + 1)(x — 1)\). Раскрывая скобки, получаем \(y = a(x^2 — 1)\), где \(a\) — неизвестный коэффициент, определяющий «растяжение» или «сжатие» параболы, а также направление её ветвей (вверх или вниз). Такой вид уравнения сразу показывает, что при \(x = -1\) и \(x = 1\) значение функции будет равно нулю, то есть \(y = a((-1)^2 — 1) = a(1 — 1) = a \cdot 0 = 0\) и аналогично для \(x = 1\). Это полностью соответствует условию задачи.

Парабола дополнительно проходит через точку \(C(2; 3)\). Подставляем координаты этой точки в уравнение параболы: \(3 = a(2^2 — 1)\). Вычисляем выражение в скобках: \(2^2 = 4\), \(4 — 1 = 3\), значит \(3 = a \cdot 3\). Отсюда находим коэффициент \(a = \frac{3}{3} = 1\). Теперь уравнение параболы принимает окончательный вид: \(y = x^2 — 1\). Эта функция полностью описывает параболу, проходящую через указанные нули и точку \(C\).

Для нахождения ординаты вершины параболы воспользуемся формулой координаты вершины \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\), \(c\) — коэффициенты уравнения \(y = ax^2 + bx + c\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -1\), поэтому \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\). Подставляем найденное значение в уравнение параболы: \(y_0 = 1 \cdot 0^{2} — 1 = 0 — 1 = -1\). Таким образом, ордината вершины параболы равна \(-1\), что означает, что вершина располагается ниже оси абсцисс на одну единицу, а сама точка вершины имеет координаты \((0; -1)\).