ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции: 1) \(y = |x^2 — 2|x||\); 2) \(y = x^2 — 2|x| — 3|\).

1) \(y = |x^2 — 2|x||\)

Рассмотрим функцию \(y = x^2 — 2x\) при \(x \geq 0\):

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\),

\(y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 = -1\).

Построим график \(y = x^2\), перенесём его на 1 вправо, затем на 1 вниз, уберём часть слева от оси ординат, отразим относительно оси ординат и часть под осью абсцисс.

2) \(y = |x^2 — 2|x| — 3|\)

Рассмотрим функцию \(y = x^2 — 2x — 3\) при \(x \geq 0\):

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\),

\(y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 — 3 = -4\).

Построим график \(y = x^2\), перенесём его на 1 вправо, затем на 4 вниз, уберём часть слева от оси ординат, отразим относительно оси ординат и часть под осью абсцисс.

1) Рассмотрим функцию \(y = |x^2 — 2|x||\). Сначала уберём модуль и разберёмся с выражением внутри: \(y = x^2 — 2|x|\).

Для \(x \geq 0\) имеем \(|x| = x\), тогда \(y = x^2 — 2x\). Это парабола с коэффициентами \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 0\). Найдём вершину по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\). Подставим в уравнение: \(y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 = -1\). Значит, вершина находится в точке (1; -1).

Для \(x < 0\) имеем \(|x| = -x\), тогда \(y = x^2 — 2(-x) = x^2 + 2x\). Это парабола с коэффициентами \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 0\). Найдём вершину: \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\), \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 — 2 = -1\). Вершина в точке (-1; -1).

Теперь возвращаемся к модулю. Значит, все отрицательные значения функции отражаем относительно оси \(Ox\), то есть меняем знак на положительный. Итоговый график состоит из двух парабол: \(y = x^2 — 2x\) при \(x \geq 0\) и \(y = x^2 + 2x\) при \(x < 0\), отражённых вверх там, где функция была отрицательной.

2) Рассмотрим функцию \(y = |x^2 — 2|x| — 3|\). Уберём модуль внутри и разберёмся с выражением: \(y = x^2 — 2|x| — 3\).

Для \(x \geq 0\) имеем \(|x| = x\), тогда \(y = x^2 — 2x — 3\). Это парабола с \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\). Найдём вершину: \(x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\), \(y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 — 3 = 1 — 2 — 3 = -4\). Вершина в точке (1; -4).

Для \(x < 0\) имеем \(|x| = -x\), тогда \(y = x^2 + 2x — 3\). Парабола с \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -3\). Вершина: \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\), \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 3 = 1 — 2 — 3 = -4\). Вершина в точке (-1; -4).

Так как функция под модулем, все отрицательные значения отражаем вверх. Итоговый график — две параболы \(y = x^2 — 2x — 3\) при \(x \geq 0\) и \(y = x^2 + 2x — 3\) при \(x < 0\), отражённые вверх там, где значения были отрицательными.