ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции: 1) \(y = |x^2 — 3|x||\); 2) \(y = x^2 — 4|x| + 3|\).

1) \(y = |x^{2} — 3|x||\)

Рассмотрим функцию \(y = x^{2} — 3x\) при \(x \geq 0\).

Найдем вершину параболы:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5\).

Вычислим значение функции в вершине:
\(y_0 = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} — 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} — \frac{9}{2} = -\frac{9}{4} = -2,25\).

Построим график \(y = x^{2}\), перенесём его на 1,5 единицы вправо и на 2,25 единицы вниз.

Уберём часть графика слева от оси ординат, отразим график относительно оси ординат и отразим часть графика под осью абсцисс.

2) \(y = |x^{2} — 4|x| + 3|\)

Рассмотрим функцию \(y = x^{2} — 4x + 3\) при \(x \geq 0\).

Найдем вершину параболы:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\).

Вычислим значение функции в вершине:
\(y_0 = 2^{2} — 4 \cdot 2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1\).

Построим график \(y = x^{2}\), перенесём его на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Уберём часть графика слева от оси ординат, отразим график относительно оси ординат и отразим часть графика под осью абсцисс.

1) Рассмотрим функцию \(y = |x^{2} — 3|x||\).

Сначала уберём модуль и рассмотрим выражение внутри: \(x^{2} — 3|x|\).

Поскольку \(|x|\) — это положительное число или ноль, разберёмся с двумя случаями:

При \(x \geq 0\) имеем \(|x| = x\), тогда функция становится \(y = x^{2} — 3x\).

При \(x < 0\) имеем \(|x| = -x\), тогда функция становится \(y = x^{2} + 3x\).

Найдём вершину параболы для случая \(x \geq 0\), где \(y = x^{2} — 3x\).

Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 0\).

Вершина находится в точке \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5\).

Вычислим значение функции в вершине:

\(y_0 = (1,5)^{2} — 3 \cdot 1,5 = 2,25 — 4,5 = -2,25\).

Так как функция задана с модулем снаружи, все отрицательные значения функции отражаются относительно оси \(x\).

Значит, график функции для \(x \geq 0\) — это график \(y = x^{2} — 3x\), но все точки с отрицательными значениями \(y\) отражены вверх.

Для \(x < 0\) аналогично: график \(y = x^{2} + 3x\), отражённый по модулю.

2) Рассмотрим функцию \(y = |x^{2} — 4|x| + 3|\).

Уберём внешний модуль и рассмотрим выражение внутри: \(x^{2} — 4|x| + 3\).

Опять разберёмся с двумя случаями:

При \(x \geq 0\), \(|x| = x\), значит \(y = x^{2} — 4x + 3\).

При \(x < 0\), \(|x| = -x\), значит \(y = x^{2} + 4x + 3\).

Найдём вершину параболы для случая \(x \geq 0\), где \(y = x^{2} — 4x + 3\).

Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).

Вершина находится в точке \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\).

Вычислим значение функции в вершине:

\(y_0 = 2^{2} — 4 \cdot 2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1\).

Так как функция снаружи взята по модулю, все отрицательные значения отражаются вверх.

Значит, график функции для \(x \geq 0\) — это график \(y = x^{2} — 4x + 3\) с отражением отрицательных частей вверх.

Для \(x < 0\) аналогично: график \(y = x^{2} + 4x + 3\) с отражением по модулю.