ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции: 1) \(y = -(x + 3)^3 + x + 3\); 2) \(y = x — 6x^2 + 8x\); 3) \(y = \frac{x^4 + 4x^2}{x^2 — 4}\).

1) \( y = -(x+3)^3 + x + 3 = -(x+3)^3 + (x+3) \)

Область определения: \( x \in \mathbb{R} \)

Построим график функции \( y = -t^3 + t \), где \( t = x + 3 \). График сдвинут на 3 единицы влево.

—

2) \( y = x — 6x^2 + 8x = 9x — 6x^2 \)

Область определения: \( x \in \mathbb{R} \)

Координаты вершины параболы:

\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{9}{2 \cdot (-6)} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)

\( y_0 = 9 \cdot \frac{3}{4} — 6 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{27}{4} — 6 \cdot \frac{9}{16} = \frac{27}{4} — \frac{54}{16} = \frac{27}{4} — \frac{27}{8} = \frac{54}{8} — \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \)

—

3) \( y = \frac{x^4 + 4x^2}{x^2 — 4} = \frac{x^2(x^2 + 4)}{(x-2)(x+2)} \)

Область определения: \( x \neq \pm 2 \)

График строится с учётом разрывов в точках \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

1) Рассмотрим функцию \( y = -(x+3)^3 + x + 3 \).

Раскроем скобки: \( y = -(x+3)^3 + (x+3) \).

Область определения функции — все числа \( x \in \mathbb{R} \), так как кубическая степень и сложение определены для всех чисел.

Для удобства подставим \( t = x + 3 \), тогда функция примет вид \( y = -t^3 + t \).

Это кубическая функция с отрицательным знаком у \( t^3 \), что означает, что график будет похож на кубическую параболу, отражённую относительно оси \( x \).

График сдвинут на 3 единицы влево по оси \( x \).

—

2) Рассмотрим функцию \( y = x — 6x^2 + 8x \).

Сложим подобные слагаемые: \( y = x + 8x — 6x^2 = 9x — 6x^2 \).

Это квадратичная функция вида \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = -6 \), \( b = 9 \), \( c = 0 \).

Область определения — все \( x \in \mathbb{R} \).

Координаты вершины параболы находятся по формулам:

\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{9}{2 \cdot (-6)} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).

Подставим \( x_0 \) в функцию:

\( y_0 = 9 \cdot \frac{3}{4} — 6 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{27}{4} — 6 \cdot \frac{9}{16} = \frac{27}{4} — \frac{54}{16} = \frac{27}{4} — \frac{27}{8} = \frac{54}{8} — \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \).

Парабола ветвями вниз, так как \( a = -6 < 0 \).

—

3) Рассмотрим функцию \( y = \frac{x^4 + 4x^2}{x^2 — 4} \).

В числителе вынесем общий множитель \( x^2 \):

\( y = \frac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 — 4} \).

Знаменатель раскладывается на множители:

\( x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2) \).

Область определения — все \( x \in \mathbb{R} \), кроме \( x = 2 \) и \( x = -2 \), так как в этих точках знаменатель равен нулю.

Функция не сокращается, так как числитель не содержит множителей \( (x — 2) \) или \( (x + 2) \).

График функции имеет разрывы в точках \( x = 2 \) и \( x = -2 \), где функция не определена.