Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Постройте график функции: 1) \(y = x^2 — 4|x — 1| — 1\); 2) \(y = x^2 + 3x \cdot \frac{|x — 3|}{x — 3} — 4\); 3) \(y = x \sqrt{x^2 — x — 6}\).
1) \( y = x^2 — 4|x — 1| — 1 \)
Если \( x \geq 1 \), то \( y = x^2 — 4(x — 1) — 1 = x^2 — 4x + 3 \)
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \)
\( y_0 = 2^2 — 4 \cdot 2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1 \)
| x | 1 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 0 | 3 |
Если \( x < 1 \), то \( y = x^2 + 4(x — 1) — 1 = x^2 + 4x — 5 \)
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \)
\( y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) — 5 = 4 — 8 — 5 = -9 \)
| x | -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| y | -8 | -5 | 0 |
2) \( y = x^2 + 3x \cdot \frac{|x — 3|}{x — 3} — 4 \)
Если \( x > 3 \), то \( y = x^2 + 3x — 4 \)
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2} = -1.5 \)
\( y_0 = (-1.5)^2 + 3 \cdot (-1.5) — 4 = \frac{9}{4} — \frac{9}{2} — 4 = -\frac{25}{4} = -6.25 \)
| x | 0 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | -4 | 14 | 24 |
Если \( x < 3 \), то \( y = x^2 — 3x — 4 \)
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5 \)
\( y_0 = (1.5)^2 — 3 \cdot 1.5 — 4 = \frac{9}{4} — \frac{9}{2} — 4 = -\frac{25}{4} = -6.25 \)
| x | -4 | -2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | 24 | 6 | -4 |
3) \( y = x \sqrt{x^2 — x — 6} \)
Подкоренное выражение раскладываем: \( x^2 — x — 6 = (x — 3)(x + 2) \)
Область определения: \( x \leq -2 \) или \( x \geq 3 \)
1) Рассмотрим функцию \( y = x^2 — 4|x — 1| — 1 \).
Для начала раскроем модуль. Если \( x \geq 1 \), то \( |x — 1| = x — 1 \). Подставим это в выражение:
\( y = x^2 — 4(x — 1) — 1 = x^2 — 4x + 4 — 1 = x^2 — 4x + 3 \).
Это квадратная функция с коэффициентом при \( x^2 \) равным 1, значит, ветви параболы направлены вверх.
Найдём вершину параболы по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -4 \):
\( x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \).
Подставим \( x_0 \) в функцию, чтобы найти значение вершины:
\( y_0 = 2^2 — 4 \cdot 2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1 \).
Построим таблицу значений для \( x \geq 1 \):
| x | 1 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 0 | 3 |
Если \( x < 1 \), то \( |x — 1| = 1 — x \). Подставим:
\( y = x^2 — 4(1 — x) — 1 = x^2 — 4 + 4x — 1 = x^2 + 4x — 5 \).
Определим вершину:
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \).
Вычислим \( y_0 \):
\( y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) — 5 = 4 — 8 — 5 = -9 \).
Таблица значений для \( x < 1 \):
| x | -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| y | -8 | -5 | 0 |
2) Рассмотрим функцию \( y = x^2 + 3x \cdot \frac{|x — 3|}{x — 3} — 4 \).
Знак дроби зависит от \( x \). Если \( x > 3 \), то \( \frac{|x — 3|}{x — 3} = 1 \), тогда
\( y = x^2 + 3x — 4 \).
Найдём вершину:
\( x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2} = -1.5 \).
Вычислим значение в вершине:
\( y_0 = (-1.5)^2 + 3 \cdot (-1.5) — 4 = \frac{9}{4} — \frac{9}{2} — 4 = -\frac{25}{4} = -6.25 \).
Таблица значений для \( x > 3 \):
| x | 0 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | -4 | 14 | 24 |
Если \( x < 3 \), то \( \frac{|x — 3|}{x — 3} = -1 \), тогда
\( y = x^2 — 3x — 4 \).
Вершина:
\( x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5 \).
Значение в вершине:
\( y_0 = (1.5)^2 — 3 \cdot 1.5 — 4 = \frac{9}{4} — \frac{9}{2} — 4 = -\frac{25}{4} = -6.25 \).
Таблица значений для \( x < 3 \):
| x | -4 | -2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | 24 | 6 | -4 |
3) Рассмотрим функцию \( y = x \sqrt{x^2 — x — 6} \).
Раскроем подкоренное выражение:
\( x^2 — x — 6 = (x — 3)(x + 2) \).
Область определения функции — это значения \( x \), при которых подкоренное выражение неотрицательно:
\( x^2 — x — 6 \geq 0 \Rightarrow (x — 3)(x + 2) \geq 0 \).
Это значит, что либо \( x \leq -2 \), либо \( x \geq 3 \).
Таким образом, функция определена на множестве \( (-\infty; -2] \cup [3; +\infty) \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.