ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Установите, сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра \(a\): 1) \(|x^2 — 4|x| + 3| = a\); 2) \(x^2 + 3|x — 1| — 1 = a\).

1) \(|x^2 — 4|x| + 3| = a\)

Если \(a < 0\), корней нет; если \(a > 3\), два корня;

если \(a = 3\), три корня;

если \(a = 0\) или \(1 < a < 3\), четыре корня;

если \(a = 1\), шесть корней;

если \(0 < a < 1\), восемь корней.

2) \(x^2 + 3|x — 1| — 1 = a\)

Если \(a < 0\), корней нет; если \(a = 1\), один корень; если \(a > 1\), два корня.

1) Рассмотрим уравнение \(|x^2 — 4|x| + 3| = a\).

Сначала упростим выражение внутри модуля. Пусть \(t = |x|\), тогда функция внутри модуля равна \(t^2 — 4t + 3\).

Найдём корни квадратного трёхчлена \(t^2 — 4t + 3 = 0\). По формуле корней:
\(t = \frac{4 \pm \sqrt{16 — 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}\), значит \(t_1 = 1\), \(t_2 = 3\).

Парабола направлена вверх, вершина в точке \(t = \frac{4}{2} = 2\) и значение в вершине \(2^2 — 4 \cdot 2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1\).

Значит минимальное значение под модулем равно \(-1\), а сам модуль принимает значения от 0 до бесконечности.

Рассмотрим уравнение \(|t^2 — 4t + 3| = a\) при разных \(a\):

— Если \(a < 0\), корней нет, так как модуль не может быть отрицательным.

— Если \(a = 0\), уравнение равно нулю, значит \(t^2 — 4t + 3 = 0\), корни \(t=1\) и \(t=3\), значит \(x = \pm 1, \pm 3\) — всего 4 корня.

— Если \(0 < a < 1\), график пересекает линии \(y = a\) восемь раз (по 4 на положительной и отрицательной части), значит 8 корней.

— Если \(a = 1\), пересечения 6, значит 6 корней.

— Если \(1 < a < 3\), пересечения 4, значит 4 корня. — Если \(a = 3\), пересечения 3, значит 3 корня. — Если \(a > 3\), пересечения 2, значит 2 корня.

2) Рассмотрим уравнение \(x^2 + 3|x — 1| — 1 = a\).

Разобьём по определению модуля:

Если \(x \geq 1\), то \(|x — 1| = x — 1\), значит уравнение становится
\(x^2 + 3(x — 1) — 1 = a\),
то есть
\(x^2 + 3x — 4 = a\),
или
\(x^2 + 3x — (4 + a) = 0\).

Если \(x < 1\), то \(|x — 1| = 1 — x\), значит уравнение \(x^2 + 3(1 — x) — 1 = a\), то есть \(x^2 — 3x + 2 = a\), или \(x^2 — 3x + (2 — a) = 0\). Найдём количество корней в зависимости от \(a\). Для \(x \geq 1\) уравнение \(x^2 + 3x — (4 + a) = 0\) имеет дискриминант \(D_1 = 9 + 4(4 + a) = 9 + 16 + 4a = 25 + 4a\), который всегда положителен при \(a > -\frac{25}{4}\).

Для \(x < 1\) уравнение \(x^2 — 3x + (2 — a) = 0\) имеет дискриминант
\(D_2 = 9 — 4(2 — a) = 9 — 8 + 4a = 1 + 4a\).

Для корней в области \(x < 1\) нужен \(D_2 \geq 0\), то есть \(a \geq -\frac{1}{4}\).

При \(a < 0\) уравнение не имеет решений, так как левая часть не может быть меньше нуля. При \(a = 1\) уравнение имеет ровно один корень. При \(a > 1\) уравнение имеет два корня.