ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Установите, сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра \(a\): 1) \(|x^2 — 2|x| — 3| = a\); 2) \(x^2 — 4|x — 1| — 1 = a\).

1) Уравнение \(|x^2 — 2|x| — 3| = a\).

Рассмотрим функцию \(y = x^2 — 2x — 3\) при \(x \geq 0\).

Вершина параболы: \(x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\), \(y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 — 3 = -4\).

График функции \(y = x^2\) сдвигаем на 1 вправо и на 4 вниз, отражаем часть графика для отрицательных \(x\) и берём модуль.

Ответ: если \(a < 0\), корней нет; если \(a = 0\) или \(a > 4\), два корня; если \(a = 4\) или \(0 < a < 3\), четыре корня; если \(a = 3\), пять корней; если \(3 < a < 4\), шесть корней.

2) Уравнение \(x^2 — 4|x — 1| — 1 = a\).

Если \(x \geq 1\), то \(y = x^2 — 4(x — 1) — 1 = x^2 — 4x + 3\).

Вершина: \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\), \(y_0 = 2^2 — 4 \cdot 2 + 3 = -1\).

Если \(x < 1\), то \(y = x^2 + 4(x — 1) — 1 = x^2 + 4x — 5\).

Вершина: \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\), \(y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) — 5 = -9\).

Ответ: если \(a < -9\), корней нет; если \(a = -9\), один корень; если \(-9 < a < -1\) или \(a > 0\), два корня; если \(a = -1\) или \(a = 0\), три корня; если \(-1 < a < 0\), четыре корня.

1) Рассмотрим уравнение \(|x^2 — 2|x| — 3| = a\).

Сначала разберём выражение внутри модуля. Для \(x \geq 0\) имеем \(y = x^2 — 2x — 3\), для \(x < 0\) — \(y = x^2 + 2x — 3\).

Найдём вершину параболы для \(x \geq 0\). Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\). Вершина в точке \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\). Значение функции в вершине: \(y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 — 3 = -4\).

Аналогично для \(x < 0\), вершина в точке \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\), значение \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 3 = -4\).

Таким образом, функция \(y = x^2 — 2|x| — 3\) достигает минимума \(-4\) в точках \(x = \pm 1\).

Поскольку уравнение содержит модуль, график функции \(f(x) = |x^2 — 2|x| — 3|\) — это отражение всех отрицательных частей графика функции \(g(x) = x^2 — 2|x| — 3\) относительно оси \(Ox\).

Рассмотрим случаи для \(a\):

— Если \(a < 0\), решений нет, так как модуль не может быть отрицательным.

— Если \(a = 0\), уравнение \(f(x) = 0\) равносильно \(g(x) = 0\). Решаем \(x^2 — 2|x| — 3 = 0\). Для \(x \geq 0\), \(x^2 — 2x — 3 = 0\), корни \(x = 3\) и \(x = -1\) (не подходит, так как \(x \geq 0\)), значит \(x = 3\). Для \(x < 0\), \(x^2 + 2x — 3 = 0\), корни \(x = 1\) (не подходит) и \(x = -3\). Значит, корни при \(a=0\) — \(x = 3\) и \(x = -3\), всего 2 корня.

— Если \(0 < a < 3\), уравнение имеет по два корня от каждой части параболы, всего 4 корня.

— Если \(a = 3\), касание графика, количество корней 5.

— Если \(3 < a < 4\), 6 корней. — Если \(a = 4\), 2 корня. — Если \(a > 4\), 2 корня.

2) Рассмотрим уравнение \(x^2 — 4|x — 1| — 1 = a\).

Разобьём на два случая:

Для \(x \geq 1\), \(|x-1| = x — 1\), тогда \(y = x^2 — 4(x — 1) — 1 = x^2 — 4x + 3\).

Вершина параболы: \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\), \(y_0 = 2^2 — 4 \cdot 2 + 3 = -1\).

Для \(x < 1\), \(|x-1| = 1 — x\), тогда \(y = x^2 — 4(1 — x) — 1 = x^2 + 4x — 5\).

Вершина параболы: \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\), \(y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) — 5 = -9\).

Подставим значения в таблицы:

Рассмотрим количество корней в зависимости от \(a\):

— Если \(a < -9\), корней нет.

— Если \(a = -9\), один корень.

— Если \(-9 < a < -1\), два корня.

— Если \(a = -1\), три корня.

— Если \(-1 < a < 0\), четыре корня. — Если \(a = 0\), три корня. — Если \(a > 0\), два корня.