ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

О квадратичной функции \(f\) известно, что существует ровно три значения аргумента, при которых модуль значения функции равен 2. Сколько корней имеет уравнение \(f(x) = 1\)?

Квадратичная функция не может иметь три разных значения аргумента с одним и тем же значением функции. Значит, при \(|f(x)| = 2\) функция принимает значения \(2\) и \(-2\). Одна из трёх точек — вершина параболы, где \(f(x) = 2\) или \(f(x) = -2\), а две другие точки — на ветвях.

Поскольку вершина лежит между этими значениями, то на интервале \((-2; 2)\) функция принимает все значения дважды. Значит уравнение \(f(x) = 1\) имеет два разных решения.

Ответ: два корня.

1. Квадратичная функция — это парабола, график которой пересекает любую горизонтальную прямую максимум в двух точках. Значит, уравнение \(f(x) = c\) может иметь не более двух корней.

2. В условии сказано, что есть ровно три значения \(x\), при которых \(|f(x)| = 2\). Значит, уравнение \(|f(x)| = 2\) имеет три решения.

3. Условие \(|f(x)| = 2\) равносильно двум уравнениям: \(f(x) = 2\) и \(f(x) = -2\).

4. Поскольку уравнение \(f(x) = c\) не может иметь три корня, то одно из уравнений \(f(x) = 2\) или \(f(x) = -2\) имеет два корня, а другое — один корень.

5. Тот корень, который один, соответствует вершине параболы, так как в вершине функция принимает экстремальное значение.

6. Значит, вершина параболы лежит на линии \(y = 2\) или \(y = -2\), а другая линия пересекает параболу в двух точках.

7. Между этими значениями (между \(-2\) и \(2\)) функция принимает все значения дважды, потому что график параболы симметричен относительно вершины.

8. Значение \(1\) лежит между \(-2\) и \(2\), поэтому уравнение \(f(x) = 1\) имеет два корня.

9. Таким образом, ответ: уравнение \(f(x) = 1\) имеет два корня.