ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.50 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Могут ли графики квадратичных функций \(y = ax^2 + bx + c\) и \(y = bx^2 + cx + a\) быть расположены так, как показано на рисунке 7.13?

На рисунке изображены графики функций \( y = ax^2 + bx + c \) и \( y = bx^2 + cx + a \).

Вычислим значения функций в точке \( x=1 \):

\( y_1(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c \),

\( y_2(1) = b \cdot 1^2 + c \cdot 1 + a = b + c + a \).

Значения равны, значит, функции имеют общую точку с абсциссой 1.

Ответ: нет.

1) Подставим \( x=1 \) в первую функцию: \( y_1 = a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + c = a + b + c \).

2) Подставим \( x=1 \) во вторую функцию: \( y_2 = b \cdot 1^{2} + c \cdot 1 + a = b + c + a \).

3) Видно, что \( y_1(1) = y_2(1) = a + b + c \). Значит, обе функции имеют общую точку с абсциссой 1.

4) Чтобы проверить, есть ли другие общие точки, приравняем функции: \( a x^{2} + b x + c = b x^{2} + c x + a \).

5) Перенесём все слагаемые в одну сторону: \( a x^{2} + b x + c — b x^{2} — c x — a = 0 \).

6) Упростим: \( (a — b) x^{2} + (b — c) x + (c — a) = 0 \).

7) Подставим \( x=1 \) в это уравнение: \( (a — b) \cdot 1^{2} + (b — c) \cdot 1 + (c — a) = a — b + b — c + c — a = 0 \), что подтверждает, что \( x=1 \) — корень.

8) Чтобы было только одно решение, дискриминант уравнения должен быть равен нулю: \( D = (b — c)^{2} — 4 (a — b)(c — a) = 0 \).

9) Если \( D = 0 \), то общее число решений равно одному, значит, кроме \( x=1 \) других общих точек нет.

10) Таким образом, функции имеют одну общую точку с абсциссой 1 и не имеют других общих точек.