ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.51 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Могут ли графики квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\) и линейной функции \(y = cx + a\) быть расположены так, как показано на рисунке 7.14?

На оси ординат: \( c \cdot 0 + a = a \) и \( a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = c \), значит \( a = c \).

Нуль линейной функции: \( cx + a = 0 \), подставляем \( a = c \), получаем \( cx + c = 0 \), значит \( x + 1 = 0 \) и \( x = -1 \).

Проверяем, может ли \( x = -1 \) быть нулём квадратичной функции: \( y(-1) = a \cdot (-1)^{2} + b \cdot (-1) + c = a — b + a = 2a — b \). Тогда \( 2a — b = 0 \) и \( b = 2a \).

Проверяем, является ли точка \((-1; 0)\) вершиной: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2a}{2a} = -1 \).

Ответ: нет.

1. При \(x=0\) у линейной функции \(y = cx + a\) значение равно \(y = c \cdot 0 + a = a\). У квадратичной функции \(y = ax^{2} + bx + c\) при \(x=0\) значение равно \(y = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = c\). Так как графики пересекаются на оси ординат, то эти значения равны, значит \(a = c\).

2. Найдём нуль линейной функции. Решаем уравнение \(cx + a = 0\). Подставляя \(a = c\), получаем \(cx + c = 0\), откуда \(c(x + 1) = 0\). Если \(c \neq 0\), то \(x + 1 = 0\), значит \(x = -1\).

3. Проверим, может ли \(x = -1\) быть корнем квадратичной функции. Подставим \(x = -1\) в \(y = ax^{2} + bx + c\): \(y(-1) = a \cdot (-1)^{2} + b \cdot (-1) + c = a — b + c\). Так как \(a = c\), то \(y(-1) = a — b + a = 2a — b\).

4. Если \(x = -1\) — корень квадратичной функции, то \(y(-1) = 0\), откуда \(2a — b = 0\) и \(b = 2a\).

5. Найдём координату вершины параболы. Вершина имеет абсциссу \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Подставляя \(b = 2a\), получаем \(x_0 = -\frac{2a}{2a} = -1\).

6. Значит, точка \((-1; 0)\) одновременно является корнем линейной функции, корнем квадратичной функции и вершиной параболы.

7. На рисунке 7.14 пересечение графиков не совпадает с вершиной параболы, поэтому графики не могут быть расположены именно так, как на рисунке.

8. Следовательно, ответ: нет.