ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.52 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(2p — q = 4\). Докажите, что все параболы вида \(y = x^2 + px + q\) проходят через одну точку.

Дана парабола \(y = x^2 + px + q\), при этом \(2p — q = 4\). Из условия следует, что \(q = 2p — 4\). Подставим \(q\) в уравнение параболы: \(y = x^2 + px + 2p — 4\). Найдем нули параболы, решая уравнение \(x^2 + px + 2p — 4 = 0\). Дискриминант равен \(D = p^2 — 4(2p — 4) = p^2 — 8p + 16 = (p — 4)^2\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{-p — (p — 4)}{2} = \frac{-2p + 4}{2} = 2 — p\), \(x_2 = \frac{-p + (p — 4)}{2} = \frac{-4}{2} = -2\). Подставим \(x = -2\) в уравнение параболы: \(y = (-2)^2 + p(-2) + 2p — 4 = 4 — 2p + 2p — 4 = 0\). Значит, все параболы проходят через точку \((-2; 0)\). Что и требовалось доказать.

1. Дана парабола с уравнением \(y = x^2 + px + q\) и условие \(2p — q = 4\). Нужно доказать, что все такие параболы проходят через одну и ту же точку.

2. Из условия \(2p — q = 4\) выразим \(q\): \(q = 2p — 4\).

3. Подставим найденное выражение для \(q\) в уравнение параболы: \(y = x^2 + px + 2p — 4\).

4. Чтобы найти общую точку, через которую проходят все параболы, рассмотрим уравнение параболы при произвольном \(p\): \(y = x^2 + px + 2p — 4\).

5. Если такая точка существует, то при подстановке её координат \((x_0, y_0)\) в уравнение параболы значение \(y_0\) не будет зависеть от \(p\).

6. Рассмотрим уравнение параболы при \(y = 0\), чтобы найти точки пересечения с осью \(x\): \(x^2 + px + 2p — 4 = 0\).

7. Вычислим дискриминант: \(D = p^2 — 4(2p — 4) = p^2 — 8p + 16 = (p — 4)^2\).

8. Найдем корни уравнения: \(x_1 = \frac{-p — (p — 4)}{2} = \frac{-2p + 4}{2} = 2 — p\), \(x_2 = \frac{-p + (p — 4)}{2} = \frac{-4}{2} = -2\).

9. Подставим \(x = -2\) в уравнение параболы: \(y = (-2)^2 + p(-2) + 2p — 4 = 4 — 2p + 2p — 4 = 0\).

10. Значит, точка \((-2; 0)\) принадлежит всем параболам вида \(y = x^2 + px + q\), где \(q = 2p — 4\). Это и есть общая точка, через которую проходят все такие параболы.