ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.53 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функция \(f(x) = x^2 + px + q\) принимает только неотрицательные значения. Найдите наименьшее значение выражения \(p + q\).

Дана парабола \(y = x^2 + px + q\), которая не принимает отрицательных значений. Значит, её вершина лежит на или выше оси \(x\), и дискриминант \(D = p^2 — 4q \leq 0\).

Тогда \(q \geq \frac{p^2}{4}\).

Нужно найти минимум \(p + q\), подставим \(q = \frac{p^2}{4}\):

\(p + \frac{p^2}{4}\).

Найдём производную:

\(1 + \frac{p}{2} = 0\), откуда \(p = -2\).

Подставим \(p = -2\):

\(q = \frac{(-2)^2}{4} = 1\).

Тогда

\(p + q = -2 + 1 = -1\).

1. Пусть дана парабола \(y = x^2 + px + q\). Из условия, что парабола принимает только неотрицательные значения, следует, что \(y \geq 0\) для всех \(x\).

2. Парабола ветвится вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен 1 и положителен.

3. Чтобы парабола не опускалась ниже оси \(x\), её дискриминант должен быть меньше или равен нулю: \(D = p^2 — 4q \leq 0\).

4. Из этого неравенства выразим \(q\): \(q \geq \frac{p^2}{4}\).

5. Нужно найти минимальное значение выражения \(p + q\) при условии \(q \geq \frac{p^2}{4}\).

6. Подставим минимально возможное \(q = \frac{p^2}{4}\) в выражение: \(p + \frac{p^2}{4}\).

7. Рассмотрим функцию \(f(p) = p + \frac{p^2}{4}\). Найдём её производную: \(f'(p) = 1 + \frac{p}{2}\).

8. Приравняем производную к нулю для нахождения экстремума: \(1 + \frac{p}{2} = 0\), откуда \(p = -2\).

9. Подставим \(p = -2\) в выражение для \(q\): \(q = \frac{(-2)^2}{4} = 1\).

10. Тогда минимальное значение \(p + q = -2 + 1 = -1\).