ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.54 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Параметр \(a\) принимает все действительные значения. Докажите, что вершины парабол \(f(x) = -x^2 + 2ax — a^2 + a + 1\) образуют прямую.

Дана парабола: \( y = -x^{2} + 2ax — a^{2} + a + 1 \).

1) Абсцисса вершины параболы: \( x_0 = -\frac{2a}{2 \cdot (-1)} = \frac{2a}{2} = a \).

2) Ордината вершины параболы: \( y_0 = -a^{2} + 2a \cdot a — a^{2} + a + 1 = -a^{2} + 2a^{2} — a^{2} + a + 1 = a + 1 \).

Все вершины лежат на прямой \( y = x + 1 \).

Что и требовалось доказать.

1) Дана парабола с уравнением \( y = -x^{2} + 2ax — a^{2} + a + 1 \). Здесь \(a\) — параметр, который может принимать любые значения.

2) Чтобы найти вершину параболы, сначала найдём абсциссу вершины. Формула для абсциссы вершины квадратичной функции \( y = Ax^{2} + Bx + C \) равна \( x_0 = -\frac{B}{2A} \).

3) В нашем уравнении коэффициенты: \( A = -1 \), \( B = 2a \), \( C = -a^{2} + a + 1 \).

4) Подставим в формулу: \( x_0 = -\frac{2a}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2a}{-2} = a \).

5) Теперь найдём ординату вершины, подставив \( x_0 = a \) в уравнение параболы:

\( y_0 = -a^{2} + 2a \cdot a — a^{2} + a + 1 \).

6) Упростим выражение:

\( y_0 = -a^{2} + 2a^{2} — a^{2} + a + 1 = (-a^{2} + 2a^{2} — a^{2}) + a + 1 = 0 + a + 1 = a + 1 \).

7) Таким образом, вершина параболы имеет координаты \( (a, a + 1) \).

8) Поскольку \(a\) — любое число, все вершины лежат на прямой, которая проходит через точки с координатами \( (a, a + 1) \).

9) Уравнение этой прямой можно записать как \( y = x + 1 \).

10) Значит, вершины всех парабол \( y = -x^{2} + 2ax — a^{2} + a + 1 \) лежат на одной прямой \( y = x + 1 \), что и требовалось доказать.