ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.55 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Параметр \(a\) принимает все действительные значения. Докажите, что вершины парабол \(f(x) = x^2 — 2ax + a^2 + 1\) образуют параболу.

Дана парабола: \( y = x^2 — 2ax + 2a^2 + 1 \).

1) Абсцисса вершины параболы:
\( x_0 = -\frac{-2a}{2 \cdot 1} = \frac{2a}{2} = a \);

2) Ордината вершины параболы:
\( y_0 = a^2 — 2a \cdot a + 2a^2 + 1 = a^2 + 1 \).

Все вершины лежат на параболе \( y = x^2 + 1 \).

Что и требовалось доказать.

1) Дана функция \( y = x^2 — 2ax + 2a^2 + 1 \), где \( a \in \mathbb{R} \).

2) Чтобы найти вершину параболы, нужно определить абсциссу вершины по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \) и \( b = -2a \) из уравнения \( y = ax^2 + bx + c \).

3) Подставляем значения: \( x_0 = -\frac{-2a}{2 \cdot 1} = \frac{2a}{2} = a \).

4) Теперь подставим \( x_0 = a \) в исходное уравнение, чтобы найти ординату вершины:

\( y_0 = a^2 — 2a \cdot a + 2a^2 + 1 = a^2 — 2a^2 + 2a^2 + 1 = a^2 + 1 \).

5) Таким образом, координаты вершины для каждого параметра \( a \) равны \( (a, a^2 + 1) \).

6) Рассмотрим множество всех таких вершин при изменении \( a \) на все действительные числа. Это множество точек \( (x, y) = (a, a^2 + 1) \).

7) Видно, что они удовлетворяют уравнению \( y = x^2 + 1 \).

8) Следовательно, вершины всех парабол семейства \( y = x^2 — 2ax + 2a^2 + 1 \) лежат на параболе \( y = x^2 + 1 \).

9) Это и требовалось доказать.