ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.56 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дана функция \(f(t) = t^2 — 2t\). Постройте график функции \(g\), если \(g(x) = \min_{t \in [x-1; x]} f(t)\).

Дана функция \(f(t) = t^2 — 2t\).

Вершина параболы: \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\), \(y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 = -1\).

Ветви параболы направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).

Функция убывает на \((-\infty; 1]\) и возрастает на \([1; +\infty)\).

\(g(x) = \min_{t \in [x-1, x]} f(t)\):

если \(x \leq 1\), то \(g(x) = f(x) = x^2 — 2x\);

если \(1 < x < 2\), то \(g(x) = -1\);

если \(x \geq 2\), то \(g(x) = f(x-1) = (x-1)^2 — 2(x-1) = x^2 — 4x + 3\).

Таблица значений:

1. Дана функция \(f(t) = t^{2} — 2t\).

2. Найдём вершину параболы. Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -2\). Вершина находится в точке \(t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\).

3. Значение функции в вершине: \(f(1) = 1^{2} — 2 \cdot 1 = 1 — 2 = -1\).

4. Парабола направлена вверх, так как \(a = 1 > 0\). Значит, функция убывает на промежутке \((-\infty; 1]\) и возрастает на \([1; +\infty)\).

5. Функция \(g(x)\) определяется как минимум функции \(f(t)\) на отрезке \([x-1; x]\), то есть \(g(x) = \min_{t \in [x-1, x]} f(t)\).

6. Рассмотрим положение вершины \(t=1\) относительно отрезка \([x-1; x]\):

— Если \(x \leq 1\), то отрезок лежит полностью слева от вершины или до неё, функция убывает на этом отрезке, минимум достигается в правой точке, то есть в \(t = x\). Значит, \(g(x) = f(x) = x^{2} — 2x\).

— Если \(1 < x < 2\), то вершина \(t=1\) лежит внутри отрезка \([x-1; x]\), поэтому минимум равен значению функции в вершине: \(g(x) = f(1) = -1\).

— Если \(x \geq 2\), то отрезок лежит справа от вершины, функция возрастает на этом отрезке, минимум достигается в левой точке, то есть в \(t = x-1\). Значит, \(g(x) = f(x-1) = (x-1)^{2} — 2(x-1)\).

7. Раскроем выражение \(f(x-1)\):

\(f(x-1) = (x-1)^{2} — 2(x-1) = x^{2} — 2x + 1 — 2x + 2 = x^{2} — 4x + 3\).

8. Итоговое выражение для \(g(x)\):

\(g(x) = \begin{cases} x^{2} — 2x, & \text{если } x \leq 1, \\ -1, & \text{если } 1 < x < 2, \\ x^{2} — 4x + 3, & \text{если } x \geq 2. \end{cases}\)

9. Посчитаем значения \(g(x)\) в нескольких точках:

— \(g(-1) = (-1)^{2} — 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3\).

— \(g(0) = 0^{2} — 2 \cdot 0 = 0\).

— \(g(1) = 1^{2} — 2 \cdot 1 = 1 — 2 = -1\).

— \(g(1.5) = -1\).

— \(g(2) = 2^{2} — 4 \cdot 2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1\).

— \(g(3) = 3^{2} — 4 \cdot 3 + 3 = 9 — 12 + 3 = 0\).

— \(g(4) = 4^{2} — 4 \cdot 4 + 3 = 16 — 16 + 3 = 3\).

— \(g(5) = 5^{2} — 4 \cdot 5 + 3 = 25 — 20 + 3 = 8\).

10. Таблица значений: