ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.57 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дана функция \(f(t) = -t^2 — 2t\). Постройте график функции \(g\), если \(g(x) = \max_{t \in [x; x+1]} f(t)\).

Дана функция \(f(t) = -t^2 — 2t\).

1) Координаты вершины параболы:

\(t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1\),

\(f(t_0) = -(1)^2 — 2 \cdot 1 = -1 — 2 = -3\).

2) Ветви параболы направлены вниз, так как \(a = -1 < 0\).

3) Функция возрастает на \((-\infty; -1]\) и убывает на \([-1; +\infty)\).

4) Функция \(g(x) = \max_{t \in [x; x+1]} f(t)\) равна

\(g(x) = \begin{cases}
f(x+1), & \text{если } x \le -2, \\
1, & \text{если } -2 < x < -1, \\
f(x), & \text{если } x \ge -1.
\end{cases}\)

1) Дана функция \(f(t) = -t^2 — 2t\). Определим координаты вершины параболы. Коэффициенты: \(a = -1\), \(b = -2\). Формула для вершины: \(t_0 = -\frac{b}{2a}\). Подставляем: \(t_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1\).

2) Находим значение функции в вершине: \(f(t_0) = f(1) = -(1)^2 — 2 \cdot 1 = -1 — 2 = -3\).

3) Поскольку \(a = -1 < 0\), парабола направлена вниз. Значит, вершина — это максимум функции. 4) Рассмотрим функцию \(g(x) = \max_{t \in [x; x+1]} f(t)\). Максимум на отрезке длины 1 может быть либо в вершине, либо на концах отрезка. 5) Вершина \(t_0 = 1\) принадлежит интервалу \([x; x+1]\), если \(x \le 1 \le x+1\), то есть \(x \in [0; 1]\). В этом случае максимум равен \(f(1) = -3\). 6) Если \(x > 1\), то вершина слева от интервала, максимум достигается на левом конце: \(g(x) = f(x)\).

7) Если \(x < 0\), то вершина справа от интервала, максимум достигается на правом конце: \(g(x) = f(x+1)\).

8) Запишем функцию \(g(x)\) по частям:

\(g(x) = f(x+1)\),если \(x < 0\),\(g(x) = -3\),если \(0 \le x \le 1\),\(g(x) = f(x)\),если \(x > 1\).

9) Выразим \(f(t)\) через полный квадрат: \(f(t) = -t^2 — 2t = -(t^2 + 2t) = -(t+1)^2 + 1\).

10) Таким образом, функция \(g(x)\) принимает вид:

\(g(x) = -(x+2)^2 + 1\),если \(x < 0\),\(g(x) = -3\),если \(0 \le x \le 1\),\(g(x) = -x^2 — 2x\),если \(x > 1\).