Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.58 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите наименьшее значение функции \(y = (x + 1)^2 + 2(x + 1) + 2\) на \(D(y)\).
Пусть \( t = x^2 + x \), тогда функция примет вид \( y = t^2 + 2t + 2 \). Минимум функции \( y(t) \) достигается при \( t = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \). Подставим \( t = -1 \) в \( y(t) \): \( y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1 — 2 + 2 = 1 \). Проверим, можно ли \( t = -1 \) получить из \( t = x^2 + x \): \( x^2 + x = -1 \Rightarrow x^2 + x + 1 = 0 \), дискриминант \( D = 1 — 4 = -3 < 0 \), корней нет, значит \( t = -1 \) не достижимо. Найдем минимум \( t = x^2 + x \): \( t = (x + \frac{1}{2})^2 — \frac{1}{4} \), минимум при \( x = -\frac{1}{2} \), \( t_{\min} = -\frac{1}{4} \). Подставим в \( y(t) \): \( y(-\frac{1}{4}) = (-\frac{1}{4})^2 + 2(-\frac{1}{4}) + 2 = \frac{1}{16} — \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{16} — \frac{8}{16} + \frac{32}{16} = \frac{25}{16} \). Ответ: \( \frac{25}{16} \).
1. Дана функция \( y = (x^2 + x)^2 + 2(x^2 + x) + 2 \). Введём замену переменной: пусть \( t = x^2 + x \). Тогда функция примет вид \( y = t^2 + 2t + 2 \).
2. Рассмотрим функцию \( y(t) = t^2 + 2t + 2 \). Это квадратичная функция с коэффициентами \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 2 \). Поскольку \( a > 0 \), график параболы направлен вверх, и функция имеет минимум.
3. Найдём точку минимума функции \( y(t) \) по формуле \( t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \).
4. Подставим \( t_0 = -1 \) в функцию \( y(t) \): \( y(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 2 = 1 — 2 + 2 = 1 \).
5. Проверим, достижимо ли значение \( t = -1 \) при \( t = x^2 + x \). Решим уравнение \( x^2 + x = -1 \), что эквивалентно \( x^2 + x + 1 = 0 \).
6. Найдём дискриминант уравнения: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3 \). Поскольку \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Значит, \( t = -1 \) не достигается.
7. Теперь найдём минимум функции \( t = x^2 + x \) на множестве действительных чисел. Преобразуем: \( t = x^2 + x = x^2 + x + \frac{1}{4} — \frac{1}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 — \frac{1}{4} \).
8. Минимум функции \( t \) достигается при \( x = -\frac{1}{2} \), и равен \( t_{\min} = -\frac{1}{4} \).
9. Подставим \( t_{\min} = -\frac{1}{4} \) в функцию \( y(t) \): \( y\left(-\frac{1}{4}\right) = \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) + 2 = \frac{1}{16} — \frac{1}{2} + 2 \).
10. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{1}{16} — \frac{8}{16} + \frac{32}{16} = \frac{25}{16} \). Таким образом, минимальное значение функции \( y \) равно \( \frac{25}{16} \), и достигается при \( x = -\frac{1}{2} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.