ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.59 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|x^2 — 4x + 3| + x — a = 0\) имеет три корня?

Координаты вершины параболы: \(x_0 = 2\), \(y_0 = -1\).

Уравнение перепишем как \(|x^2 — 4x + 3| = a — x\).

Функция под модулем равна \( (x-2)^2 — 1 \).

Рассмотрим функции \(f = -((x-2)^2 — 1) = -(x-2)^2 + 1\) и \(g = -x + a\).

Приравниваем: \(- (x-2)^2 + 1 = -x + a\).

Раскроем скобки: \(- x^2 + 4x — 4 + 1 = -x + a\).

Приведём к квадратному уравнению: \(x^2 — 5x + a + 3 = 0\).

Дискриминант: \(D = 25 — 4(a + 3) = 13 — 4a\).

Для одного корня \(D = 0\), значит \(13 — 4a = 0\), откуда \(a = \frac{13}{4}\).

Другой корень \(a = 3\) получается из анализа графиков.

Ответ: \(a = 3\) или \(a = \frac{13}{4}\).

1. Рассмотрим уравнение \( |x^2 — 4x + 3| + x — a = 0 \). Перепишем его как \( |x^2 — 4x + 3| = a — x \).

2. Выделим выражение под модулем: \( x^2 — 4x + 3 = (x — 1)(x — 3) \). Корни равны \(1\) и \(3\), парабола направлена вверх, вершина в точке \(x_0 = 2\) с координатой \(y_0 = -1\).

3. Модуль раскроется по интервалам:
— при \(x \leq 1\) или \(x \geq 3\) имеем \( |x^2 — 4x + 3| = x^2 — 4x + 3 \),
— при \(1 < x < 3\) имеем \( |x^2 — 4x + 3| = -(x^2 — 4x + 3) = -x^2 + 4x — 3 \).

4. Для \(x \leq 1\) или \(x \geq 3\) уравнение принимает вид \(x^2 — 4x + 3 = a — x\), или \(x^2 — 3x + 3 — a = 0\).

5. Для \(1 < x < 3\) уравнение принимает вид \(-x^2 + 4x — 3 = a — x\), или \(x^2 — 5x + a + 3 = 0\).

6. Рассмотрим уравнение на интервале \(1 < x < 3\): \(x^2 — 5x + a + 3 = 0\). Дискриминант равен \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a + 3) = 25 — 4a — 12 = 13 — 4a\).

7. Для существования корней нужно, чтобы \(D \geq 0\), то есть \(13 — 4a \geq 0\), откуда \(a \leq \frac{13}{4}\).

8. Корни уравнения: \(x = \frac{5 \pm \sqrt{13 — 4a}}{2}\). Чтобы оба корня лежали в интервале \( (1, 3) \), проверяем границы: для меньшего корня \(x > 1\) и для большего \(x < 3\).

9. Из неравенств получаем условие \(3 < a \leq \frac{13}{4}\) для того, чтобы оба корня были внутри интервала.

10. Рассмотрим уравнение вне интервала: \(x^2 — 3x + 3 — a = 0\). Дискриминант равен \(D = 9 — 12 + 4a = 4a — 3\). Для существования корней \(D \geq 0\), значит \(a \geq \frac{3}{4}\).

11. Корни: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{4a — 3}}{2}\). Чтобы ровно один из корней лежал вне интервала \( (1, 3) \), проверяем, например, корни при \(a = 3\) и \(a = \frac{13}{4}\).

12. При \(a = 3\) уравнение на интервале даёт корни \(x = 2\) и \(x = 3\), а вне интервала корни \(x = 0\) и \(x = 3\). Общий набор корней: \(0, 2, 3\) — всего три корня.

13. При \(a = \frac{13}{4}\) уравнение на интервале имеет один корень \(x = \frac{5}{2}\), вне интервала два корня, один из которых меньше 1, другой больше 3, всего три корня.

14. Ответ: \(a = 3\) или \(a = \frac{13}{4}\).