ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = x^2 — 6x + 8\). Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких отрицательные.

Координаты вершины параболы:
\(x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\)
\(y_0 = 3^2 — 6 \cdot 3 + 8 = 9 — 18 + 8 = -1\)

Ветви параболы направлены вверх: \(a = 1 > 0\)

Пересечение с осью абсцисс:
\(x^2 — 6x + 8 = 0\)
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\)
\(x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\)

Пересечение с осью ординат:
\(f(0) = 0^2 — 6 \cdot 0 + 8 = 8\)

\(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\)
\(f(x) < 0\) при \(x \in (2; 4)\)

Для решения уравнения \(x^{2} — 6x + 8 = 0\) необходимо подробно рассмотреть каждый этап вычислений. Сначала определим коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\). Далее вычисляем дискриминант по формуле \(D = b^{2} — 4ac\). Подставляем значения: \(D = (-6)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\). Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня. Для нахождения корней используем формулу \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим значения: \(x_{1} = \frac{6 — 2}{2} = 2\), \(x_{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4\). Таким образом, оба корня уравнения: \(x_{1} = 2\) и \(x_{2} = 4\).

Построим график функции \(y = x^{2} — 6x + 8\), учитывая её свойства. Так как коэффициент при \(x^{2}\) равен единице (\(a > 0\)), ветви параболы направлены вверх. Для нахождения вершины параболы используем формулу абсциссы вершины: \(x_{0} = \frac{-b}{2a}\). Подставляем значения: \(x_{0} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\). Теперь вычислим ординату вершины: \(y_{0} = x_{0}^{2} — 6x_{0} + 8\). Получаем: \(y_{0} = 3^{2} — 6 \cdot 3 + 8 = 9 — 18 + 8 = -1\). Следовательно, координаты вершины параболы: \((3; -1)\). Парабола пересекает ось абсцисс в точках \(x_{1} = 2\) и \(x_{2} = 4\), а ось ординат — в точке \(y = 8\), потому что при \(x = 0\) значение функции \(y = 0^{2} — 6 \cdot 0 + 8 = 8\). Запишем значения функции для нескольких целых \(x\) в таблице:

Определим интервалы, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции положительны вне корней, то есть при \(x < 2\) и \(x > 4\), и отрицательны между корнями, то есть при \(2 < x < 4\). Запишем это в виде промежутков: \(y > 0\) при \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\), а \(y < 0\) при \(x \in (2; 4)\). На концах промежутков, то есть при \(x = 2\) и \(x = 4\), функция равна нулю, что соответствует точкам пересечения параболы с осью абсцисс. Таким образом, функция \(y = x^{2} — 6x + 8\) положительна на промежутках \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\), отрицательна на промежутке \(x \in (2; 4)\), и равна нулю в точках \(x = 2\), \(x = 4\).