ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = x^2 — 6x + 8\). Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких отрицательные.

Координаты вершины параболы:
\(x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\)
\(y_0 = 3^2 — 6 \cdot 3 + 8 = 9 — 18 + 8 = -1\)

Ветви параболы направлены вверх: \(a = 1 > 0\)

Пересечение с осью абсцисс:
\(x^2 — 6x + 8 = 0\)
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\)
\(x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\)

Пересечение с осью ординат:
\(f(0) = 0^2 — 6 \cdot 0 + 8 = 8\)

\(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\)
\(f(x) < 0\) при \(x \in (2; 4)\)

1. Найдём корни уравнения \(x^2 — 6x + 8 = 0\).
Выпишем коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\).
Корни:
\(x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2\),
\(x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\).

2. Построим график функции \(y = x^2 — 6x + 8\).
Это парабола, ветви направлены вверх, так как \(a > 0\).
Координаты вершины:
\(x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\),
\(y_0 = 3^2 — 6 \cdot 3 + 8 = 9 — 18 + 8 = -1\).
Парабола пересекает ось абсцисс в точках \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 4\), ось ординат в точке \(y = 8\).

3. Определим знаки функции.
Так как ветви вверх, то
\(y > 0\) при \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\),
\(y < 0\) при \(x \in (2; 4)\).

4. Ответ:
Функция положительна при \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\),
отрицательна при \(x \in (2; 4)\).