ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.60 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) наименьшее значение функции \(y = x^2 — 4x + 3 + |x — a|\) на \(\mathbb{R}\) меньше чем 2?

При \(x — a \geq 0\) имеем \(x^2 — 4x + 3 + x — a < 2\), то есть \(x^2 — 3x + 1 — a < 0\). Дискриминант \(D = 3^2 — 4(1 — a) = 9 — 4 + 4a = 5 + 4a > 0\), значит \(a > -\frac{5}{4}\).

При \(x — a < 0\) получаем \(x^2 — 4x + 3 + a — x < 2\), то есть \(x^2 — 5x + 1 + a < 0\). Дискриминант \(D = 5^2 — 4(1 + a) = 25 — 4 — 4a = 21 — 4a > 0\), значит \(a < \frac{21}{4}\).

Ответ: \(a \in \left(-\frac{5}{4}; \frac{21}{4}\right)\).

1. Дана функция \(y = x^{2} — 4x + 3 + |x — a|\). Нужно найти такие значения \(a\), при которых наименьшее значение функции на \(\mathbb{R}\) меньше 2.

2. Запишем условие: существует \(x \in \mathbb{R}\), для которого выполняется неравенство \(x^{2} — 4x + 3 + |x — a| < 2\).

3. Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения внутри модуля.

4. Случай 1: если \(x — a \geq 0\), то есть \(x \geq a\), тогда \( |x — a| = x — a \). Подставим в функцию:
\(y = x^{2} — 4x + 3 + x — a = x^{2} — 3x + 3 — a\).
Неравенство станет:
\(x^{2} — 3x + 3 — a < 2\),
откуда
\(x^{2} — 3x + 1 — a < 0\).

5. Рассмотрим квадратное уравнение \(x^{2} — 3x + 1 — a = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (1 — a) = 9 — 4 + 4a = 5 + 4a\).
Для того чтобы неравенство имело решение, нужно \(D > 0\), то есть
\(5 + 4a > 0\), откуда
\(a > -\frac{5}{4}\).

6. Случай 2: если \(x — a < 0\), то есть \(x < a\), тогда \( |x — a| = a — x \). Подставим в функцию:
\(y = x^{2} — 4x + 3 + a — x = x^{2} — 5x + 3 + a\).
Неравенство станет:
\(x^{2} — 5x + 3 + a < 2\),
откуда
\(x^{2} — 5x + 1 + a < 0\).

7. Рассмотрим квадратное уравнение \(x^{2} — 5x + 1 + a = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (1 + a) = 25 — 4 — 4a = 21 — 4a\).
Для того чтобы неравенство имело решение, нужно \(D > 0\), то есть
\(21 — 4a > 0\), откуда
\(a < \frac{21}{4}\).

8. Объединяя условия из двух случаев, получаем
\(a \in \left(-\frac{5}{4}; \frac{21}{4}\right)\).

9. Значит, для всех \(a\) из этого интервала наименьшее значение функции меньше 2.