ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.61 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) сумма квадратов корней уравнения \(x^2 — 2ax + a^2 — a + 1 = 0\) будет наименьшей?

Дано уравнение: \(x^2 — 2ax + a^2 — a + 1 = 0\).

Дискриминант: \(D = (2a)^2 — 4(a^2 — a + 1) = 4a^2 — 4a^2 + 4a — 4 = 4(a — 1)\).

Сумма квадратов корней: \(S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2 =\)
\(= (2a)^2 — 2(a^2 — a + 1) = 4a^2 — 2a^2 + 2a — 2 = 2a^2 + 2a — 2\).

Уравнение имеет решения при \(D \geq 0\), значит \(4(a — 1) \geq 0\), откуда \(a \geq 1\).

Минимум функции \(S(a) = 2a^2 + 2a — 2\) достигается при \(a_0 = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}\), но при \(a \geq 1\) минимум будет на границе \(a = 1\).

Подставляем \(a = 1\) в \(S\):

\(S(1) = 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 — 2 = 2 + 2 — 2 = 2\).

Ответ: \(1\).

1. Дано квадратное уравнение \(x^2 — 2ax + a^2 — a + 1 = 0\).

2. Найдем дискриминант уравнения по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -2a\), \(c = a^2 — a + 1\):

\(D = (-2a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a^2 — a + 1) = 4a^2 — 4(a^2 — a + 1) =\)
\(= 4a^2 — 4a^2 + 4a — 4 = 4(a — 1)\).

3. Для существования действительных корней дискриминант должен быть неотрицательным, то есть

\(D \geq 0 \Rightarrow 4(a — 1) \geq 0 \Rightarrow a — 1 \geq 0 \Rightarrow a \geq 1\).

4. Сумма корней уравнения равна \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2a}{1} = 2a\).

5. Произведение корней равно \(x_1 x_2 = \frac{c}{a} = a^2 — a + 1\).

6. Найдем сумму квадратов корней по формуле

\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2 = (2a)^2 — 2(a^2 — a + 1) =\) \(= 4a^2 — 2a^2 + 2a — 2 = 2a^2 + 2a — 2\).

7. Рассмотрим функцию суммы квадратов корней \(S(a) = 2a^2 + 2a — 2\), которую нужно минимизировать при условии \(a \geq 1\).

8. Найдем точку минимума функции, используя формулу для вершины параболы \(a_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = 2\):

\(a_0 = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\).

9. Поскольку \(a_0 = -\frac{1}{2}\) не удовлетворяет условию \(a \geq 1\), минимальное значение функции \(S(a)\) на области определения достигается на границе \(a = 1\).

10. Подставим \(a = 1\) в функцию:

\(S(1) = 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 — 2 = 2 + 2 — 2 = 2\).

Ответ: \(1\).