ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.62 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) произведение корней уравнения \(x^2 — 2ax + a^2 — 2a + 4 = 0\) будет наименьшим?

Дано уравнение: \(x^2 — 2ax + a^2 — 2a + 4 = 0\).

Найдём дискриминант: \(D = (2a)^2 — 4(a^2 — 2a + 4) = 4a^2 — 4a^2 + 8a — 16 = 8(a — 2)\).

Произведение корней: \(S = a^2 — 2a + 4\).

Вершина параболы: \(a_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\).

Уравнение имеет решения при: \(8(a — 2) \geq 0\), значит \(a \geq 2\).

Ответ: 2.

1. Дано уравнение \(x^2 — 2ax + a^2 — 2a + 4 = 0\).

2. Найдём произведение корней уравнения. По формуле для квадратного уравнения \(x^2 + bx + c = 0\) произведение корней равно \(c\). В нашем уравнении \(c = a^2 — 2a + 4\), значит произведение корней равно \(S = a^2 — 2a + 4\).

3. Найдём дискриминант уравнения: \(D = (-2a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a^2 — 2a + 4) = 4a^2 — 4a^2 + 8a — 16 = 8(a — 2)\).

4. Чтобы уравнение имело действительные корни, дискриминант должен быть неотрицательным: \(D \geq 0\), значит \(8(a — 2) \geq 0\), откуда \(a \geq 2\).

5. Рассмотрим функцию произведения корней \(S(a) = a^2 — 2a + 4\). Это парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при \(a^2\) положительный.

6. Найдём вершину параболы, используя формулу \(a_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(b = -2\), \(a = 1\), тогда \(a_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\).

7. Значение функции в вершине равно \(S(1) = 1^2 — 2 \cdot 1 + 4 = 1 — 2 + 4 = 3\).

8. Поскольку уравнение имеет корни только при \(a \geq 2\), минимальное значение произведения корней при этих условиях достигается в точке \(a = 2\).

9. Подставим \(a = 2\) в функцию произведения корней: \(S(2) = 2^2 — 2 \cdot 2 + 4 = 4 — 4 + 4 = 4\).

10. Ответ: 2.