ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.63 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Определите количество корней уравнения \(x^4 + 2ax^2 — x + a^4 + a = 0\) в зависимости от значения параметра \(a\).

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно \(a\):
\(a^2 + (2x^2 + 1)a + x^4 — x = 0\).

Дискриминант:
\(D = (2x^2 + 1)^2 — 4(x^4 — x) = (2x + 1)^2\).

Корни по \(a\):
\(a_1 = \frac{-(2x^2 + 1) — (2x + 1)}{2} = -x^2 — x — 1\),
\(a_2 = \frac{-(2x^2 + 1) + (2x + 1)}{2} = -x^2 + x\).

Найдём вершины парабол:

Для \(a_1\):
\(x_0 = -\frac{1}{2}\),
\(a_1(x_0) = -\frac{3}{4}\).

Для \(a_2\):
\(x_0 = \frac{1}{2}\),
\(a_2(x_0) = \frac{1}{4}\).

Ответ:

1. Рассмотрим уравнение \(x^{4} + 2ax^{2} — x + a^{2} + a = 0\). Перепишем его как квадратное уравнение относительно \(a\):
\(a^{2} + (2x^{2} + 1)a + x^{4} — x = 0\).

2. Найдём дискриминант этого уравнения по \(a\):
\(D = (2x^{2} + 1)^{2} — 4(x^{4} — x) = 4x^{4} + 4x^{2} + 1 — 4x^{4} + 4x = 4x^{2} + 4x + 1 =\)
\(= (2x + 1)^{2}\).

3. Корни уравнения относительно \(a\) равны:
\(a_{1,2} = \frac{-(2x^{2} + 1) \pm (2x + 1)}{2}\).

4. Вычислим конкретно:
\(a_{1} = \frac{-(2x^{2} + 1) — (2x + 1)}{2} = -x^{2} — x — 1\),
\(a_{2} = \frac{-(2x^{2} + 1) + (2x + 1)}{2} = -x^{2} + x\).

5. Рассмотрим функции \(a_{1}(x) = -x^{2} — x — 1\) и \(a_{2}(x) = -x^{2} + x\).

6. Найдём вершину параболы \(a_{1}(x)\):
Производная \(a_{1}’ = -2x — 1\).
Приравняем к нулю: \(-2x — 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\).
Вычислим значение функции в этой точке:
\(a_{1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\left(-\frac{1}{2}\right)^{2} — \left(-\frac{1}{2}\right) — 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} — 1 = -\frac{3}{4}\).

7. Найдём вершину параболы \(a_{2}(x)\):
Производная \(a_{2}’ = -2x + 1\).
Приравняем к нулю: \(-2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).
Вычислим значение функции в этой точке:
\(a_{2}\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).

8. Теперь проанализируем количество корней у исходного уравнения в зависимости от \(a\). Для этого используем значения экстремумов функций \(a_{1}(x)\) и \(a_{2}(x)\).

9. Если \(a > \frac{1}{4}\), то уравнение не имеет корней. Если \(a = \frac{1}{4}\), уравнение имеет один корень. Если \(-\frac{3}{4} \leq a < \frac{1}{4}\), уравнение имеет два корня. Если \(a < -\frac{3}{4}\), уравнение имеет четыре корня.

10. Итог в виде таблицы: