ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.65 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функция \(f(x) = x^2 + bx + c\) имеет два нуля, один из которых принадлежит промежутку \((0; 1)\), а другой не принадлежит этому промежутку. Докажите, что \(f(c) \neq 0\).

Дана функция \(f(x) = x^2 + bx + c\).

1) Один из нулей лежит на интервале \((0; 1)\), значит:
\[
\begin{cases}
f(0) \geq 0 \\
f(1) \leq 0
\end{cases}
\quad \text{или} \quad
\begin{cases}
f(0) \leq 0 \\
f(1) \geq 0
\end{cases}
\]
то есть \(f(0) \cdot f(1) \leq 0\).

2) Выполняются равенства:
\[
f(0) \cdot f(1) = (0^2 + 0 \cdot b + c)(1^2 + b \cdot 1 + c) = c(1 + b + c),
\]
\[
f(c) = c^2 + b c + c = c(1 + b + c) = f(0) \cdot f(1) \leq 0.
\]

Что и требовалось доказать.

1) Пусть функция задана формулой \(f(x) = x^{2} + bx + c\). Из условия известно, что у функции есть два нуля, один из которых лежит в интервале \((0; 1)\).

2) Обозначим корни функции как \(x_1\) и \(x_2\), при этом \(x_1 \in (0; 1)\). Это значит, что график функции пересекает ось \(x\) в двух точках, одна из которых находится между 0 и 1.

3) Рассмотрим значения функции в точках 0 и 1:
\(f(0) = c\),
\(f(1) = 1 + b + c\).

4) Поскольку между 0 и 1 есть корень \(x_1\), функция меняет знак на этом интервале. Значит произведение \(f(0) \cdot f(1)\) меньше или равно нулю:
\(f(0) \cdot f(1) \leq 0\).

5) Теперь вычислим выражение \(f(c)\):
\(f(c) = c^{2} + b c + c = c^{2} + c(b + 1) = c(1 + b + c)\).

6) Обратим внимание, что произведение \(f(0) \cdot f(1) = c(1 + b + c)\) совпадает с выражением для \(f(c)\).

7) Следовательно, из пункта 4 получаем:
\(f(c) = f(0) \cdot f(1) \leq 0\).

8) Таким образом, при условии, что один из корней функции лежит в интервале \((0; 1)\), значение функции в точке \(c\) не превосходит нуля, что и требовалось доказать.