ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.66 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Рассматриваются все параболы вида \(y = x^2 + px + q\), \(q > 0\), которые пересекают оси координат в трёх точках. Для каждой параболы через указанные три точки проводят окружность. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку.

Пусть парабола задана уравнением \(y = x^2 + px + q\), где \(q > 0\). Точки пересечения с осями координат: \(A(0; q)\), \(B(x_1; 0)\), \(C(x_2; 0)\). По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 \cdot x_2 = q\). Рассмотрим окружность, проходящую через точки \(A\), \(B\), \(C\). Центр окружности лежит на оси \(x = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{p}{2}\). Точка \(D(0; 1)\) принадлежит всем таким окружностям, так как подстановка в уравнение окружности даёт равенство \((1 — k)^2 = (q — k)^2\), откуда \(k = \frac{q + 1}{2}\). Значит, все окружности через \(A\), \(B\), \(C\) проходят через точку \(D(0; 1)\).

Пусть дана парабола с уравнением \(y = x^{2} + px + q\), где \(q > 0\). Эта парабола пересекает ось \(y\) в точке \(A\) с координатами \(A(0; q)\), потому что при \(x = 0\) значение \(y = q\). Также парабола пересекает ось \(x\) в двух точках \(B(x_1; 0)\) и \(C(x_2; 0)\), где корни уравнения \(x^{2} + px + q = 0\). По теореме Виета для квадратного уравнения сумма корней равна \(-p\), а произведение корней равно \(q\), то есть \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1 \cdot x_2 = q\).

Теперь рассмотрим окружность, проходящую через точки \(A\), \(B\), и \(C\). Центр этой окружности лежит на оси \(x\), так как точки \(B\) и \(C\) симметричны относительно центра. Координата центра по оси \(x\) равна середине отрезка между \(x_1\) и \(x_2\), то есть \(x = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{p}{2}\). Пусть координата центра по оси \(y\) равна \(k\). Тогда радиус окружности равен расстоянию от центра до любой из точек \(B\) или \(C\), например, \(R = \sqrt{\left(x_1 + \frac{p}{2}\right)^{2} + k^{2}}\).

Подставим точку \(A(0; q)\) в уравнение окружности. Расстояние от центра до точки \(A\) должно быть равно радиусу, значит выполняется равенство \(\left(0 + \frac{p}{2}\right)^{2} + (q — k)^{2} = R^{2}\). Также из равенства радиусов получаем \(\left(x_1 + \frac{p}{2}\right)^{2} + k^{2} = R^{2}\). Приравнивая эти выражения, получаем уравнение \(\left(0 + \frac{p}{2}\right)^{2} + (q — k)^{2} = \left(x_1 + \frac{p}{2}\right)^{2} + k^{2}\). Раскрыв скобки и упростив, получаем уравнение для \(k\), которое после преобразований даёт \(k = \frac{q + 1}{2}\).

Таким образом, точка \(D(0; 1)\) принадлежит всем окружностям, проходящим через точки \(A\), \(B\), и \(C\), независимо от значений \(p\) и \(q\). Это значит, что все такие окружности проходят через точку \(D\) с координатами \( (0; 1) \). Именно это и требовалось доказать.