ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.67 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Рассматриваются все параболы вида \(y = x^2 + px + q\), \(q < 0\), которые пересекают оси координат в трёх точках. Для каждой параболы через указанные три точки проводят окружность. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку.

Дана парабола \(y = x^{2} + px + q\), где \(q < 0\).

Пусть парабола пересекает оси координат в точках \(A(0; q)\), \(B(x_{1}; 0)\), \(C(x_{2}; 0)\).

По теореме Виета: \(x_{1} \cdot x_{2} = q\).

Рассмотрим окружность, проходящую через точки \(A, B, C\). По теореме о пропорциональности отрезков двух хорд, пересекающихся в одной точке \(D\):

\(OB \cdot OC = OA \cdot OD\).

Подставим значения:

\(|x_{1}| \cdot |x_{2}| = |q| = |q| \cdot OD\).

Отсюда \(OD = 1\).

Точка \(D\) лежит на оси ординат, значит \(D(0; 1)\).

Что и требовалось доказать.

Пусть парабола задана уравнением \(y = x^{2} + px + q\), где \(q < 0\).

Точка пересечения с осью \(y\) — \(A(0; q)\).

Точки пересечения с осью \(x\) — \(B(x_{1}; 0)\) и \(C(x_{2}; 0)\), где \(x_{1}\) и \(x_{2}\) — корни уравнения \(x^{2} + px + q = 0\).

По теореме Виета: \(x_{1} + x_{2} = -p\), \(x_{1} x_{2} = q\).

Рассмотрим окружность, проходящую через точки \(A, B, C\).

Пусть \(D\) — точка пересечения хорд \(BC\) и \(AD\).

По свойству пересечения хорд: \(OB \cdot OC = OA \cdot OD\).

Подставим значения: \(|x_{1}| \cdot |x_{2}| = |q| = |q| \cdot OD\).

Отсюда \(OD = 1\).

Так как \(D\) лежит на оси \(y\), то \(D(0; 1)\).