ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.68 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех \(a \in [0; 1]\), \(b \in [0; 1]\), \(c \in [0; 1]\) выполняется неравенство \(a^2 + b^2 + c^2 \leq a^2b + b^2c + c^2a + 1\).

Пусть \(a = x\), тогда рассмотрим функцию \(f(x) = x^2 + b^2 + c^2 — (x^2 b + b^2 c + c^2 x + 1)\). Перепишем: \(f(x) = (1 — b) x^2 — c^2 x + b^2 + c^2 — b^2 c — 1\).

Если \(b \in [0; 1)\), то \(1 — b > 0\), значит парабола направлена вверх. Максимум на \([0; 1]\) достигается в \(x=0\) или \(x=1\).

При \(x=1\): \(f(1) = b^2 — b^2 c — b = b((1 — c) b — 1) \leq 0\).

При \(x=0\): \(f(0) = b^2 + c^2 — b^2 c — 1 = (b^2 — (1 + c))(1 — c) \leq 0\).

Если \(b = 1\), функция линейная: \(f(x) = — c^2 x + c^2 — c\), максимум при \(x=0\): \(f(0) = c^2 — c = c(c — 1) \leq 0\).

Значит \(f(x) \leq 0\) для всех \(a, b, c \in [0; 1]\), что и требовалось доказать.

Рассмотрим неравенство \(a^2 + b^2 + c^2 \leq a^2 b + b^2 c + c^2 a + 1\) для всех \(a, b, c \in [0; 1]\). Перенесём все члены в одну сторону, получаем выражение \(a^2 + b^2 + c^2 — a^2 b — b^2 c — c^2 a — 1 \leq 0\). Обозначим функцию \(f(a) = a^2 + b^2 + c^2 — a^2 b — b^2 c — c^2 a — 1\) и рассмотрим её как функцию от переменной \(a\) при фиксированных \(b\) и \(c\), где \(a \in [0; 1]\).

Преобразуем \(f(a)\) к виду квадратичной функции относительно \(a\): \(f(a) = (1 — b) a^{2} — c^{2} a + b^{2} + c^{2} — b^{2} c — 1\). Здесь коэффициент перед \(a^{2}\) равен \(1 — b\), который неотрицателен для \(b \in [0; 1]\). Если \(b \neq 1\), то \(1 — b > 0\), и парабола ветвями вверх. Максимальное значение на отрезке \(a \in [0; 1]\) достигается в концах, то есть при \(a = 0\) или \(a = 1\). Проверим оба случая.

Подставляя \(a = 0\), получаем \(f(0) = b^{2} + c^{2} — b^{2} c — 1\). Перепишем как \(b^{2}(1 — c) + (c^{2} — 1)\). Заметим, что \(c^{2} — 1 \leq 0\) для \(c \in [0; 1]\), а также \(b^{2}(1 — c) \leq b^{2}\), поскольку \(1 — c \leq 1\). В итоге сумма этих двух выражений не превышает нуля, так как оба слагаемых не положительны. Следовательно, \(f(0) \leq 0\).

Рассмотрим теперь \(a = 1\). Получаем \(f(1) = (1 — b) — c^{2} + b^{2} + c^{2} — b^{2} c — 1\). Упрощаем: \(f(1) = b^{2} — b^{2} c — b\). Вынесем \(b\) за скобку: \(f(1) = b((1 — c) b — 1)\). Заметим, что если \(b = 0\), то \(f(1) = 0\). Если \(b > 0\), выражение \((1 — c) b — 1\) не превосходит нуля для \(b \in [0; 1]\) и \(c \in [0; 1]\), поскольку максимальное значение \((1 — c) b\) достигается при \(b = 1, c = 0\) и равно \(1\), а \(1 — 1 = 0\). В других случаях оно отрицательно или равно нулю, следовательно, \(f(1) \leq 0\).

Особый случай возникает при \(b = 1\). Тогда функция принимает вид \(f(a) = — c^{2} a + c^{2} — c\). Максимум достигается при \(a = 0\), тогда \(f(0) = c^{2} — c = c (c — 1)\). Для \(c \in [0; 1]\) произведение \(c (c — 1)\) не положительно, потому что либо \(c = 0\), либо \(c = 1\), либо \(0 < c < 1\), и в любом случае \(c — 1 \leq 0\).

Во всех рассмотренных случаях максимум функции \(f(a)\) не превышает нуля на отрезке \(a \in [0; 1]\) при любых \(b, c \in [0; 1]\). Следовательно, исходное неравенство выполняется для всех \(a, b, c\) из отрезка \([0; 1]\), что полностью доказывает требуемое утверждение.