ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.68 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех \(a \in [0; 1]\), \(b \in [0; 1]\), \(c \in [0; 1]\) выполняется неравенство \(a^2 + b^2 + c^2 \leq a^2b + b^2c + c^2a + 1\).

Пусть \(a = x\), тогда рассмотрим функцию \(f(x) = x^2 + b^2 + c^2 — (x^2 b + b^2 c + c^2 x + 1)\). Перепишем: \(f(x) = (1 — b) x^2 — c^2 x + b^2 + c^2 — b^2 c — 1\).

Если \(b \in [0; 1)\), то \(1 — b > 0\), значит парабола направлена вверх. Максимум на \([0; 1]\) достигается в \(x=0\) или \(x=1\).

При \(x=1\): \(f(1) = b^2 — b^2 c — b = b((1 — c) b — 1) \leq 0\).

При \(x=0\): \(f(0) = b^2 + c^2 — b^2 c — 1 = (b^2 — (1 + c))(1 — c) \leq 0\).

Если \(b = 1\), функция линейная: \(f(x) = — c^2 x + c^2 — c\), максимум при \(x=0\): \(f(0) = c^2 — c = c(c — 1) \leq 0\).

Значит \(f(x) \leq 0\) для всех \(a, b, c \in [0; 1]\), что и требовалось доказать.

Пусть \(a, b, c \in [0; 1]\). Рассмотрим неравенство \(a^2 + b^2 + c^2 \leq a^2 b + b^2 c + c^2 a + 1\).

Перенесём все в одну сторону:
\(a^2 + b^2 + c^2 — a^2 b — b^2 c — c^2 a — 1 \leq 0\).

Обозначим \(f(a) = a^2 + b^2 + c^2 — a^2 b — b^2 c — c^2 a — 1\).

Рассмотрим \(f(a)\) как функцию от \(a\):
\(f(a) = (1 — b) a^{2} — c^{2} a + b^{2} + c^{2} — b^{2} c — 1\).

Если \(b \neq 1\), то \(1 — b > 0\) и \(f(a)\) — парабола вверх. Максимум на отрезке \(a \in [0; 1]\) достигается в \(a=0\) или \(a=1\).

При \(a=0\):
\(f(0) = b^{2} + c^{2} — b^{2} c — 1 = b^{2}(1 — c) + (c^{2} — 1) \leq 0\).

При \(a=1\):
\(f(1) = 1 — b — c^{2} + b^{2} + c^{2} — b^{2} c — 1 = b^{2} — b^{2} c — b = b((1 — c) b — 1) \leq 0\).

Если \(b=1\), то \(f(a) = — c^{2} a + c^{2} — c\), максимум при \(a=0\):
\(f(0) = c^{2} — c = c(c — 1) \leq 0\).

Значит \(f(a) \leq 0\) для всех \(a, b, c \in [0; 1]\), что доказывает неравенство.