ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.69 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство \(|x^2 — 9|(x + 2) < 0\).

Решаем неравенство \( |x^2 — 9|(x + 2) < 0 \).

\(x + 2 < 0\), значит \(x < -2\).

Исключаем точки, где \(x^2 — 9 = 0\), то есть \(x = \pm 3\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2)\).

Рассмотрим выражение \( |x^2 — 9|(x + 2) < 0 \) более подробно. Модуль \( |x^2 — 9| \) по определению всегда неотрицателен, то есть \( |x^2 — 9| \geq 0 \) для любого значения \( x \). Следовательно, чтобы произведение оказалось отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель \( (x + 2) \) был строго отрицательным, а первый — строго положительным, так как если первый множитель равен нулю, то всё выражение становится нулём, а не отрицательным. Это означает, что необходимо одновременно выполнение двух условий: \( x + 2 < 0 \) и \( x^2 — 9 \neq 0 \).

Преобразуем первое условие: \( x + 2 < 0 \) эквивалентно \( x < -2 \). Второе условие: \( x^2 — 9 \neq 0 \), то есть \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \). Таким образом, область допустимых значений для \( x \) — это все числа меньше \(-2\), кроме точек, где модуль обращается в ноль. Точки \( x = -3 \) и \( x = 3 \) являются нулями выражения \( x^2 — 9 \), а значит, в них весь исходный модуль равен нулю и произведение становится нулём, что не удовлетворяет строгому неравенству.

Теперь рассмотрим подробнее, почему именно промежутки \( (-\infty; -3) \) и \( (-3; -2) \) являются решением. Для \( x < -2 \) модуль \( |x^2 — 9| \) положителен, кроме точки \( x = -3 \), где он равен нулю. При \( x < -3 \) выражение \( x^2 — 9 \) положительно, так как \( x^2 > 9 \), а при \( -3 < x < -2 \) выражение \( x^2 — 9 \) отрицательно, но модуль всё равно положителен, так как модуль отрицательного числа положителен. В обоих случаях произведение с отрицательным \( x + 2 \) даёт отрицательное значение, что соответствует условию задачи.

Таким образом, окончательный ответ: множество решений состоит из двух промежутков — все числа \( x \) такие, что \( x \) принадлежит промежуткам \( (-\infty; -3) \) и \( (-3; -2) \). Формально, \( x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \), где точка \( x = -3 \) исключена, поскольку в ней выражение обращается в ноль, а не в отрицательное число.