ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.70 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(\sqrt{x^2 — 3x + 2} + \sqrt{x^2 + x — 2} = 0\).

Решаем уравнение \(\sqrt{x^2 — 3x + 2} + \sqrt{x^2 + x — 2} = 0\).

Так как корни квадратных выражений неотрицательны, равенство возможно только если

\(\sqrt{x^2 — 3x + 2} = 0\) и \(\sqrt{x^2 + x — 2} = 0\).

Решаем первое уравнение:

\(x^2 — 3x + 2 = 0\).

Дискриминант:

\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\).

Корни:

\(x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\),

\(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\).

Решаем второе уравнение:

\(x^2 + x — 2 = 0\).

Дискриминант:

\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).

Корни:

\(x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2\),

\(x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\).

Общий корень: \(1\).

Ответ: 1.

Рассмотрим подробнее, почему сумма двух квадратных корней \(\sqrt{x^2 — 3x + 2} + \sqrt{x^2 + x — 2}\) может быть равна нулю только в случае, если каждый из корней равен нулю. По определению, квадратный корень \(\sqrt{a}\) определён только для \(a \geq 0\), и его значение всегда неотрицательно. Следовательно, если сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, то каждое из них обязательно равно нулю. Это приводит к системе уравнений: \(x^2 — 3x + 2 = 0\) и \(x^2 + x — 2 = 0\). Только такие значения \(x\), которые одновременно обращают оба подкоренных выражения в ноль, являются решениями исходного уравнения.

Рассмотрим решение первого уравнения \(x^2 — 3x + 2 = 0\). Дискриминант вычисляется по формуле \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\). Корни квадратного уравнения находятся по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем значения: \(x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\). Значит, первое уравнение имеет два корня: \(x = 1\) и \(x = 2\). Проверим, подходят ли эти значения для второго уравнения.

Рассмотрим второе уравнение \(x^2 + x — 2 = 0\). Дискриминант равен \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). Корни: \(x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\). Таким образом, второе уравнение также имеет два корня: \(x = -2\) и \(x = 1\). Теперь находим общий корень двух уравнений — это значение, которое одновременно обращает в ноль оба подкоренных выражения. Сравниваем корни: у первого уравнения это \(1\) и \(2\), у второго — \(1\) и \(-2\). Единственный общий корень — это \(x = 1\).

Проведём проверку найденного значения \(x = 1\) в исходном уравнении. Подставляем \(x = 1\) в оба подкоренных выражения: \(1^2 — 3 \cdot 1 + 2 = 1 — 3 + 2 = 0\) и \(1^2 + 1 — 2 = 1 + 1 — 2 = 0\). Оба выражения равны нулю, следовательно, \(\sqrt{0} + \sqrt{0} = 0\), что удовлетворяет исходному уравнению. Значения \(x = 2\) и \(x = -2\) не являются общими корнями, поэтому они не подходят. Итог: единственное решение исходного уравнения — это \(x = 1\). Корректно записанное множество решений: \(\{1\}\) или, если решений нет, принято использовать обозначение \(\emptyset\), но в нашем случае оно не требуется.