ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Используя графический метод, установите количество корней уравнения \(x^2 + 4x + 1 = 6x\).

Пусть \(y_1 = x^2 + 4x + 1\) — парабола, а \(y_2 = \frac{6}{x}\) — гипербола.
Графики этих функций пересекаются в трёх точках.
Ответ: 3 корня.

1. Перепишем уравнение:
\(x^2 + 4x + 1 = \frac{6}{x}\)

2. Перенесём всё в одну сторону:
\(x^2 + 4x + 1 — \frac{6}{x} = 0\)

3. Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{x^3 + 4x^2 + x — 6}{x} = 0\)

4. Числитель должен быть равен нулю:
\(x^3 + 4x^2 + x — 6 = 0\)

5. Найдём корни методом подбора:
При \(x = 1:\)
\(1^3 + 4 \cdot 1^2 + 1 — 6 = 1 + 4 + 1 — 6 = 0\)
Значит, \(x = 1\) — корень.

6. Разделим многочлен на \((x — 1)\):
Остаток:
\(x^3 + 4x^2 + x — 6 = (x — 1)(x^2 + 5x + 6)\)

7. Разложим квадратный трёхчлен:
\(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)

8. Получили:
\((x — 1)(x + 2)(x + 3) = 0\)

9. Корни:
\(x = 1\), \(x = -2\), \(x = -3\)

10. Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль:
\(x \neq 0\)

Ответ: 3 корня.