ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(x^2 + 6x — 7 < 0\);

2) \(x^2- 2x- 48 \geq 0\);

3) \(-x^2 — 6x — 5 > 0\);

4) \(-x^2 + 4x — 3 < 0\);

5) \(3x^2 — 7x+ 4 \leq 0\);

6) \(x^2- 12x + 36 > 0\);

7) \(4x^2 — 12x+ 9 \geq 0\);

8) \(x^2 + 4x + 4 < 0\);

9) \(49x^2- 14x+1 \leq 0\);

10) \(3x^2- 4x+ 5 \leq 0\);

11) \(-4x^2 + 5x — 7 > 0\);

12) \(-2x^2 + 3x — 2 \leq 0\).

1) \(x^2 + 6x — 7 < 0;\)
\(D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7,\) \(x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1;\)
\((x + 7)(x — 1) < 0;\)
\(-7 < x < 1;\)
Ответ: \(x \in (-7; 1).\)

2) \(x^2 — 2x — 48 \geq 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 48 = 4 + 192 = 196,\) тогда:
\(x_1 = \frac{2 — 14}{2} = -6,\) \(x_2 = \frac{2 + 14}{2} = 8;\)
\((x + 6)(x — 8) \geq 0;\)
\(x \leq -6,\) \(x \geq 8;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -6] \cup [8; +\infty).\)

3) \(-x^2 — 6x — 5 > 0;\)
\(x^2 + 6x + 5 < 0;\)
\(D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-6 — 4}{2} = -5,\) \(x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1;\)
\((x + 5)(x + 1) < 0;\)
\(-5 < x < -1;\)
Ответ: \(x \in (-5; -1).\)

4) \(-x^2 + 4x — 3 < 0;\)
\(x^2 — 4x + 3 > 0;\)
\(D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,\) тогда:
\(x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1,\) \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;\)
\((x — 1)(x — 3) > 0;\)
\(x < 1,\) \(x > 3;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty).\)

5) \(3x^2 — 7x + 4 \leq 0;\)
\(D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1,\) тогда:
\(x_1 = \frac{7 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1,\) \(x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3};\)
\((x — 1)(x — \frac{4}{3}) \leq 0;\)
\(1 \leq x \leq \frac{4}{3};\)
Ответ: \(x \in [1; \frac{4}{3}].\)

6) \(x^2 — 12x + 36 > 0;\)
\((x — 6)^2 > 0;\)
\(x — 6 \neq 0;\)
\(x \neq 6;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 6) \cup (6; +\infty).\)

7) \(4x^2 — 12x + 9 \geq 0;\)
\((2x — 3)^2 \geq 0;\)
\(x \in \mathbb{R};\)
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty).\)

8) \(x^2 + 4x + 4 < 0;\)
\((x + 2)^2 < 0;\)
\(x \in \emptyset;\)
Ответ: \(x \in \emptyset.\)

9) \(49x^2 — 14x + 1 \leq 0;\)
\((7x — 1)^2 \leq 0;\)
\(7x — 1 = 0;\)
\(7x = 1;\)
\(x = \frac{1}{7};\)
Ответ: \(x \in \{\frac{1}{7}\}.\)

10) \(3x^2 — 4x + 5 \leq 0;\)
\(D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 — 60 = -44;\)
\(D < 0\) и \(a = 3 > 0,\) значит \(x \in \emptyset;\)
Ответ: \(x \in \emptyset.\)

11) \(-4x^2 + 5x — 7 > 0;\)
\(4x^2 — 5x + 7 < 0;\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 4 \cdot 7 = 25 — 112 = -87;\)
\(D < 0\) и \(a = 4 > 0,\) значит \(x \in \emptyset;\)
Ответ: \(x \in \emptyset.\)

12) \(-2x^2 + 3x — 2 \leq 0;\)
\(2x^2 — 3x + 2 \geq 0;\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 — 16 = -7;\)
\(D < 0\) и \(a = 2 > 0,\) значит \(x \in \mathbb{R};\)
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty).\)

1) Решаем неравенство \(x^2 + 6x — 7 < 0\).
Сначала находим корни уравнения \(x^2 + 6x — 7 = 0\). Вычисляем дискриминант: \(D = 6^2 + 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 + 28 = 64\).
Корни: \(x_1 = \frac{-6 — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 — 8}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = 1\).
Раскладываем на множители: \((x + 7)(x — 1) < 0\).
Определяем интервалы, где произведение отрицательно: \(-7 < x < 1\).
Ответ: \(x \in (-7; 1)\).

2) Решаем неравенство \(x^2 — 2x — 48 \geq 0\).
Находим корни уравнения \(x^2 — 2x — 48 = 0\). Дискриминант: \(D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 48 = 4 + 192 = 196\).
Корни: \(x_1 = \frac{2 — \sqrt{196}}{2} = \frac{2 — 14}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8\).
Раскладываем: \((x + 6)(x — 8) \geq 0\).
Решение: \(x \leq -6\) или \(x \geq 8\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -6] \cup [8; +\infty)\).

3) Решаем неравенство \(-x^2 — 6x — 5 > 0\).
Приводим к виду \(x^2 + 6x + 5 < 0\). Находим корни: \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\).
Корни: \(x_1 = \frac{-6 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 — 4}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = -1\).
Раскладываем: \((x + 5)(x + 1) < 0\).
Решение: \(-5 < x < -1\).
Ответ: \(x \in (-5; -1)\).

4) Решаем неравенство \(-x^2 + 4x — 3 < 0\).
Приводим к виду \(x^2 — 4x + 3 > 0\). Дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\).
Корни: \(x_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3\).
Раскладываем: \((x — 1)(x — 3) > 0\).
Решение: \(x < 1\) или \(x > 3\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\).

5) Решаем неравенство \(3x^2 — 7x + 4 \leq 0\).
Дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1\).
Корни: \(x_1 = \frac{7 — \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 — 1}{6} = 1\), \(x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{4}{3}\).
Раскладываем: \(3(x — 1)(x — \frac{4}{3}) \leq 0\).
Решение: \(1 \leq x \leq \frac{4}{3}\).
Ответ: \(x \in [1; \frac{4}{3}]\).

6) Решаем неравенство \(x^2 — 12x + 36 > 0\).
Перепишем как \((x — 6)^2 > 0\).
Это выполняется для всех \(x\), кроме \(x = 6\).
Решение: \(x \neq 6\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 6) \cup (6; +\infty)\).

7) Решаем неравенство \(4x^2 — 12x + 9 \geq 0\).
Перепишем как \((2x — 3)^2 \geq 0\).
Это выполняется для всех \(x\).
Решение: \(x \in \mathbb{R}\).
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

8) Решаем неравенство \(x^2 + 4x + 4 < 0\).
Перепишем как \((x + 2)^2 < 0\).
Квадрат не может быть отрицательным, решений нет.
Решение: \(x \in \emptyset\).
Ответ: \(x \in \emptyset\).

9) Решаем неравенство \(49x^2 — 14x + 1 \leq 0\).
Перепишем как \((7x — 1)^2 \leq 0\).
Квадрат равен нулю только при \(7x — 1 = 0\), то есть \(x = \frac{1}{7}\).
Решение: \(x = \frac{1}{7}\).
Ответ: \(x \in \{\frac{1}{7}\}\).

10) Решаем неравенство \(3x^2 — 4x + 5 \leq 0\).
Дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 — 60 = -44\).
Так как \(D < 0\) и коэффициент при \(x^2\) положительный (\(a = 3 > 0\)), парабола направлена вверх и не пересекает ось \(x\), значит, выражение всегда положительно.
Решение: \(x \in \emptyset\).
Ответ: \(x \in \emptyset\).

11) Решаем неравенство \(-4x^2 + 5x — 7 > 0\).
Приводим к виду \(4x^2 — 5x + 7 < 0\). Дискриминант: \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 7 = 25 — 112 = -87\).
Так как \(D < 0\) и \(a = 4 > 0\), выражение всегда положительно, решений нет.
Решение: \(x \in \emptyset\).
Ответ: \(x \in \emptyset\).

12) Решаем неравенство \(-2x^2 + 3x — 2 \leq 0\).
Приводим к виду \(2x^2 — 3x + 2 \geq 0\). Дискриминант: \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 — 16 = -7\).
Так как \(D < 0\) и \(a = 2 > 0\), выражение всегда положительно.
Решение: \(x \in \mathbb{R}\).
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).