ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:
1) \(y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4}\);
2) \(y = \frac{x + 2}{\sqrt{6x-2x^2}}\).

1) \( y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4} \). Выражение имеет смысл при: \(-x^2 + 3x + 4 \geq 0\); \(x^2 — 3x — 4 \leq 0\); \(D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 + 16 = 25\), тогда: \(x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4\); \((x + 1)(x — 4) \leq 0\); \(-1 \leq x \leq 4\). Ответ: \(D(y) = [-1; 4]\).

2) \( y = \frac{1}{\sqrt{6x — 2x^2}} \). Выражение имеет смысл при: \(6x — 2x^2 > 0\); \(2x^2 — 6x < 0\); \(2x(x - 3) < 0\); \(0 < x < 3\). Ответ: \(D(y) = (0; 3)\).

Для функции \( y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4} \) область определения находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(-x^2 + 3x + 4 \geq 0\). Преобразуем неравенство: \(x^2 — 3x — 4 \leq 0\). Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 — 3x — 4 = 0\) с помощью дискриминанта: \(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\). Корни равны: \(x_1 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2} = \frac{3 — 5}{2} = -1\) и \(x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\). Таким образом, неравенство \((x + 1)(x — 4) \leq 0\) выполняется на интервале \(-1 \leq x \leq 4\). Следовательно, область определения функции \(D(y) = [-1; 4]\).

Для функции \( y = \frac{1}{\sqrt{6x — 2x^2}} \) область определения определяется условием, что подкоренное выражение должно быть положительным, а знаменатель не равен нулю: \(6x — 2x^2 > 0\). Преобразуем неравенство: \(2x^2 — 6x < 0\), что эквивалентно \(2x(x - 3) < 0\). Решаем неравенство методом интервалов: корни уравнения \(2x(x - 3) = 0\) равны \(x = 0\) и \(x = 3\). На интервале \(0 < x < 3\) неравенство выполняется. Таким образом, область определения функции \(D(y) = (0; 3)\). В обоих случаях мы использовали стандартные методы нахождения области определения функций, связанные с анализом подкоренных выражений и знаменателей. Для квадратных неравенств применялось решение через дискриминант и метод интервалов, что позволяет точно определить интервалы, на которых функция имеет смысл. Эти методы являются базовыми в алгебре и широко применяются для анализа функций.