ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:
1) \(\sqrt{2x^2-9x -18}\);
2) \(\frac{1}{\sqrt{15+2x — x^2}}\).

Найти область определения функции:

1) \( y = 12x^2 — 9x — 18 \);

Выражение имеет смысл при:

\( 2x^2 — 9x — 18 \geq 0 \);

\( D = 9^2 + 4 \cdot 2 \cdot 18 = 81 + 144 = 225 \), тогда: \( x_1 = \frac{2.25 — 9 — 15}{6} = -1.5 \) и \( x_2 = \frac{9 + 15}{4} = 6 \);

\( (x + 1.5)(x — 6) \geq 0 \); \( x \leq -1.5 \), \( x \geq 6 \); Ответ: \( D(y) = (-\infty; -1.5] \cup [6; +\infty) \).

2) \( y = \sqrt{15 + 2x — x^2} \);

Выражение имеет смысл при:

\( 15 + 2x — x^2 > 0 \); \( x^2 — 2x — 15 < 0 \); \( D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64 \), тогда: \( x_1 = \frac{2 - 8}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5 \); \( (x + 3)(x - 5) < 0 \); \( -3 < x < 5 \); Ответ: \( D(y) = (-3; 5) \).\

Рассмотрим первую функцию \( y = 12x^2 — 9x — 18 \). Для нахождения её области определения необходимо определить, при каких значениях \( x \) выражение под корнем (если оно есть) неотрицательно. В данном случае функция является квадратичной и определена для всех действительных чисел, так как нет ограничений в виде корней или дробей. Однако, если бы условие задачи включало неравенство \( 2x^2 — 9x — 18 \geq 0 \), то его решение потребовало бы нахождения корней квадратного уравнения \( 2x^2 — 9x — 18 = 0 \). Дискриминант \( D = 9^2 + 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 \), корни \( x_1 = \frac{9 — 15}{4} = -1.5 \) и \( x_2 = \frac{9 + 15}{4} = 6 \). Решение неравенства \( (x + 1.5)(x — 6) \geq 0 \) даёт интервалы \( x \leq -1.5 \) и \( x \geq 6 \), что соответствует области определения \( D(y) = (-\infty; -1.5] \cup [6; +\infty) \).

Во второй функции \( y = \sqrt{15 + 2x — x^2} \) подкоренное выражение должно быть строго положительным: \( 15 + 2x — x^2 > 0 \). Это эквивалентно неравенству \( x^2 — 2x — 15 < 0 \). Дискриминант \( D = 4 + 60 = 64 \), корни \( x_1 = \frac{2 - 8}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5 \). Решение неравенства \( (x + 3)(x - 5) < 0 \) даёт интервал \( -3 < x < 5 \), что соответствует области определения \( D(y) = (-3; 5) \). Важно отметить, что при работе с квадратными неравенствами необходимо учитывать направление ветвей параболы. Если коэффициент при \( x^2 \) положителен, парабола направлена вверх, и неравенство \( ax^2 + bx + c \geq 0 \) выполняется вне корней, а неравенство \( ax^2 + bx + c < 0 \) — между корнями. В случае отрицательного коэффициента при \( x^2 \) ситуация обратная. Например, для \( -x^2 + 2x + 15 > 0 \) решение \( x^2 — 2x — 15 < 0 \) даёт интервал между корнями. Это объясняет, почему во второй задаче область определения ограничена интервалом \( (-3; 5) \).