ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Равносильны ли неравенства:
1) \(x^2 — 2x — 15 > 0\) и \(x^2 — 2x — 15 > 0\);
2) \(\frac{1}{x^2 — x — 20} \leq 0\) и \(\frac{1}{x^2 — x — 20} \leq 0\);
3) \(x^2-6x+10> 0\) и \(-x^2+x-1 < 0\); 4) \(x^2+2x+3<0\) и \(-2x^2-4> 0\)?

1) Нет. \(x^2 — 2x — 15 = 0\) имеет корни \(x = 5\) и \(x = -3\). Первое неравенство строгое, второе — нестрогое.
2) Да. \(\frac{1}{x^2 — x — 20} \leq 0\) не имеет нулей, так как знаменатель \(x^2 — x — 20 \neq 0\).
3) Да. Оба неравенства выполняются для всех \(x \in \mathbb{R}\):
— \(x^2 — 6x + 10 > 0\) (D < 0, a > 0),
— \(-x^2 + x — 1 \leq 0\) (D < 0, a < 0). 4) Да. Оба неравенства не имеют решений: - \(x^2 + 2x + 3 < 0\) (D < 0, a > 0) — \(\emptyset\),
— \(-2x^2 — 4 > 0\) эквивалентно \(x^2 + 2 < 0\) — \(\emptyset\).

1) Неравенства \(x^2 — 2x — 15 > 0\) и \(x^2 — 2x — 15 \geq 0\) не равносильны. Решим уравнение \(x^2 — 2x — 15 = 0\): дискриминант \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 > 0\). Корни: \(x_1 = \frac{2 + 8}{2} = 5\), \(x_2 = \frac{2 — 8}{2} = -3\). Первое неравенство выполняется при \(x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)\), второе — при \(x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)\). Разница в строгости.

2) Неравенства \(\frac{1}{x^2 — x — 20} \leq 0\) и \(\frac{1}{x^2 — x — 20} \leq 0\) равносильны. Знаменатель \(x^2 — x — 20\) не обращается в ноль: \(x^2 — x — 20 = 0\) имеет корни \(x = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2}\), но дробь \(\frac{1}{x^2 — x — 20}\) не определена в этих точках. Решение обоих неравенств: \(x \in (-4, 5)\), где знаменатель отрицателен.

3) Неравенства \(x^2 — 6x + 10 > 0\) и \(-x^2 + x — 1 \leq 0\) равносильны для всех \(x \in \mathbb{R}\). Для первого: \(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 — 40 = -4 < 0\), коэффициент при \(x^2\) положителен — решение \(\mathbb{R}\). Для второго: \(-x^2 + x - 1 \leq 0\) эквивалентно \(x^2 - x + 1 \geq 0\), \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0\), коэффициент положителен — решение \(\mathbb{R}\). 4) Неравенства \(x^2 + 2x + 3 < 0\) и \(-2x^2 - 4 > 0\) равносильны, так как оба не имеют решений. Для первого: \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8 < 0\), коэффициент положителен — \(\emptyset\). Для второго: \(-2x^2 - 4 > 0\) эквивалентно \(x^2 + 2 < 0\), что неверно для всех \(x \in \mathbb{R}\) — \(\emptyset\).