ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) не имеет корней уравнение:
1) \(x^2 + (a — 2)x + 25 = 0\);
2) \(4,5x^2 — (4a + 3)x + 3a = 0\)?

1) \(x^2 + (a — 2)x + 25 = 0\); \(D = (a — 2)^2 — 4 \cdot 25 = a^2 — 4a + 4 — 100\); \(D = a^2 — 4a — 96\); Уравнение не имеет корней при \(D < 0\): \(a^2 - 4a - 96 < 0\); \(D = 4^2 + 4 \cdot 96 = 16 + 384 = 400\), тогда: \(a_1 = \frac{4 - 20}{2} = -8\) и \(a_2 = \frac{4 + 20}{2} = 12\); \((a + 8)(a - 12) < 0\); \(-8 < a < 12\); Ответ: \(a \in (-8; 12)\). 2) \(4.5x^2 - (4a + 3)x + 3a = 0\); \(D = (4a + 3)^2 - 4 \cdot 4.5 \cdot 3a = 16a^2 + 24a + 9 - 54a\); \(D = 16a^2 - 30a + 9\); Уравнение не имеет корней при \(D < 0\): \(16a^2 - 30a + 9 < 0\); \(D = 30^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 900 - 576 = 324\), тогда: \(a_1 = \frac{30 - 18}{2 \cdot 16} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}\) и \(a_2 = \frac{30 + 18}{2 \cdot 16} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}\); \((\frac{3}{8} < a < \frac{3}{2})\); Ответ: \(a \in (\frac{3}{8}; \frac{3}{2})\).

Рассмотрим уравнение \(x^2 + (a — 2)x + 25 = 0\). Для того чтобы это квадратное уравнение не имело действительных корней, необходимо, чтобы его дискриминант был меньше нуля. Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\). В нашем случае коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = (a — 2)\), \(c = 25\). Подставляя эти значения в формулу, получаем \(D = (a — 2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 25 = a^2 — 4a + 4 — 100 = a^2 — 4a — 96\). Условие отсутствия корней \(D < 0\) приводит к неравенству \(a^2 - 4a - 96 < 0\). Для решения неравенства \(a^2 - 4a - 96 < 0\) сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(a^2 - 4a - 96 = 0\). Дискриминант этого уравнения равен \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400\). Корни вычисляются по формуле \(a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -96\). Подставляя значения, получаем \(a_1 = \frac{4 - 20}{2} = -8\) и \(a_2 = \frac{4 + 20}{2} = 12\). Таким образом, квадратное уравнение \(a^2 - 4a - 96 = 0\) имеет корни \(a = -8\) и \(a = 12\). Неравенство \(a^2 - 4a - 96 < 0\) выполняется для значений \(a\), лежащих между корнями уравнения, то есть \(-8 < a < 12\). Это означает, что при таких значениях параметра \(a\) исходное уравнение \(x^2 + (a - 2)x + 25 = 0\) не имеет действительных корней. Ответ: \(a \in (-8; 12)\). Теперь рассмотрим уравнение \(4.5x^2 - (4a + 3)x + 3a = 0\). Чтобы это уравнение не имело действительных корней, его дискриминант также должен быть меньше нуля. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 4.5\), \(b = -(4a + 3)\), \(c = 3a\). Подставляя значения, получаем \(D = (4a + 3)^2 - 4 \cdot 4.5 \cdot 3a = 16a^2 + 24a + 9 - 54a = 16a^2 - 30a + 9\). Условие \(D < 0\) приводит к неравенству \(16a^2 - 30a + 9 < 0\). Для решения неравенства \(16a^2 - 30a + 9 < 0\) сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(16a^2 - 30a + 9 = 0\). Дискриминант этого уравнения равен \(D = (-30)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 900 - 576 = 324\). Корни вычисляются по формуле \(a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 16\), \(b = -30\), \(c = 9\). Подставляя значения, получаем \(a_1 = \frac{30 - 18}{2 \cdot 16} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}\) и \(a_2 = \frac{30 + 18}{2 \cdot 16} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}\). Таким образом, квадратное уравнение \(16a^2 - 30a + 9 = 0\) имеет корни \(a = \frac{3}{8}\) и \(a = \frac{3}{2}\). Неравенство \(16a^2 - 30a + 9 < 0\) выполняется для значений \(a\), лежащих между корнями уравнения, то есть \(\frac{3}{8} < a < \frac{3}{2}\). Это означает, что при таких значениях параметра \(a\) исходное уравнение \(4.5x^2 - (4a + 3)x + 3a = 0\) не имеет действительных корней. Ответ: \(a \in (\frac{3}{8}; \frac{3}{2})\).