ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(b\) имеет два различных корня уравнение:
1) \(x^2 — 8bx + 15b + 1 = 0\);
2) \(2x^2 + 2(b — 6)x + b — 2=0\)?

1) При каких значениях \( b \) имеет два различных корня уравнение: \( x^2 — 8bx + 15b + 1 = 0 \); \( D = (8b)^2 — 4(15b + 1) = 64b^2 — 60b — 4 \); \( D = 4(16b^2 — 15b — 1) \); Уравнение имеет два корня при \( D > 0 \): \( 16b^2 — 15b — 1 > 0 \); \( D = 15^2 + 4 \cdot 16 = 225 + 64 = 289 \), тогда: \( b_1 = \frac{15 — 17}{32} = -\frac{1}{16} \), \( b_2 = \frac{15 + 17}{32} = 1 \); \( (b + \frac{1}{16})(b — 1) > 0 \); \( b < -\frac{1}{16} \); \( b > 1 \); Ответ: \( b \in (-\infty; -\frac{1}{16}) \cup (1; +\infty) \).

2) \( 2x^2 + 2(b — 6)x + b — 2 = 0 \); \( D = 4(b — 6)^2 — 4 \cdot 2(b — 2) = 4(b^2 — 12b + 36 — 2b + 4) \); \( D = 4(b^2 — 14b + 40) \); Уравнение имеет два корня при \( D > 0 \): \( b^2 — 14b + 40 > 0 \); \( D = 14^2 — 4 \cdot 40 = 196 — 160 = 36 \), тогда: \( b_1 = \frac{14 — 6}{2} = 4 \), \( b_2 = \frac{14 + 6}{2} = 10 \); \( (b — 4)(b — 10) > 0 \); \( b < 4 \), \( b > 10 \); Ответ: \( b \in (-\infty; 4) \cup (10; +\infty) \).

Для уравнения \( x^2 — 8bx + 15b + 1 = 0 \) дискриминант вычисляется как \( D = (8b)^2 — 4(15b + 1) = 64b^2 — 60b — 4 \). Упрощая, получаем \( D = 4(16b^2 — 15b — 1) \). Уравнение имеет два различных корня при условии \( D > 0 \), что приводит к неравенству \( 16b^2 — 15b — 1 > 0 \). Дискриминант этого квадратного неравенства равен \( D = 15^2 + 4 \cdot 16 = 225 + 64 = 289 \). Корни неравенства: \( b_1 = \frac{15 — 17}{32} = -\frac{1}{16} \) и \( b_2 = \frac{15 + 17}{32} = 1 \). Решение неравенства \( (b + \frac{1}{16})(b — 1) > 0 \) дает интервалы \( b < -\frac{1}{16} \) и \( b > 1 \). Таким образом, \( b \in (-\infty; -\frac{1}{16}) \cup (1; +\infty) \).

Для уравнения \( 2x^2 + 2(b — 6)x + b — 2 = 0 \) дискриминант равен \( D = 4(b — 6)^2 — 4 \cdot 2(b — 2) = 4(b^2 — 12b + 36 — 2b + 4) \). Упрощая, получаем \( D = 4(b^2 — 14b + 40) \). Уравнение имеет два различных корня при \( D > 0 \), что приводит к неравенству \( b^2 — 14b + 40 > 0 \). Дискриминант этого квадратного неравенства равен \( D = 14^2 — 4 \cdot 40 = 196 — 160 = 36 \). Корни неравенства: \( b_1 = \frac{14 — 6}{2} = 4 \) и \( b_2 = \frac{14 + 6}{2} = 10 \). Решение неравенства \( (b — 4)(b — 10) > 0 \) дает интервалы \( b < 4 \) и \( b > 10 \). Таким образом, \( b \in (-\infty; 4) \cup (10; +\infty) \).

В обоих случаях для нахождения значений параметра \( b \), при которых уравнение имеет два различных корня, используется анализ дискриминанта. Дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \). Если \( D > 0 \), уравнение имеет два различных действительных корня. Решение квадратных неравенств, возникающих при анализе дискриминанта, позволяет определить интервалы значений параметра \( b \), при которых это условие выполняется. В первом случае это \( b < -\frac{1}{16} \) и \( b > 1 \), а во втором — \( b < 4 \) и \( b > 10 \).