ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:
1) \(x^2- x-6 \leq 0\), \(x > 0\);
2) \(2x^2 -11x — 6 > 0\), \(x + 4 \geq 0\);
3) \(x^2 -9x — 10 \leq 0\), \(-6x-x^2 < 0\); 4) \(x^2 - x-12 > 0\), \(x^2+3x-10 < 0\).

1) \(x^2 — x — 6 \leq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,\) тогда: \(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;\)
\((x + 2)(x — 3) \leq 0;\)
\(-2 \leq x \leq 3;\)
Ответ: \(x \in (0; 3].\)

2) \(2x^2 — 11x — 6 \geq 0;\)
\(D = 11^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 121 + 48 = 169,\) тогда: \(x_1 = \frac{11 — 13}{4} = -0.5\) и \(x_2 = \frac{11 + 13}{4} = 6;\)
\((x + 0.5)(x — 6) \geq 0;\)
\(x \leq -0.5, x \geq 6;\)
Второе неравенство:
\(x + 4 \geq 0;\)
\(x \geq -4;\)
Ответ: \(x \in [-4; -0.5] \cup [6; +\infty).\)

3) \(x^2 — 9x — 10 \leq 0;\)
\(D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121,\) тогда: \(x_1 = \frac{9 — 11}{2} = -1\) и \(x_2 = \frac{9 + 11}{2} = 10;\)
\((x + 1)(x — 10) \leq 0;\)
\(-1 \leq x \leq 10;\)
Второе неравенство:
\(6x — x^2 < 0;\) \(x^2 - 6x > 0;\)
\(x(x — 6) > 0;\)
\(x < 0, x > 6;\)
Ответ: \(x \in [-1; 0) \cup (6; 10].\)

4) \(x^2 — x — 12 \geq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,\) тогда: \(x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;\)
\((x + 3)(x — 4) \geq 0;\)
\(x \leq -3, x \geq 4;\)
Второе неравенство:
\(x^2 + 3x — 10 < 0;\) \(D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49,\) тогда: \(x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5\) и \(x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2;\) \((x + 5)(x - 2) < 0;\) \(-5 < x < 2;\) Ответ: \(x \in (-5; -3].\)

Рассмотрим первое неравенство \(x^2 — x — 6 \leq 0\). Для его решения найдем дискриминант квадратного уравнения \(x^2 — x — 6 = 0\). Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\). Подставляя значения, получаем \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\). Корни уравнения находятся по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Таким образом, \(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\). Неравенство \((x + 2)(x — 3) \leq 0\) выполняется на интервале \([-2; 3]\). Учитывая условие \(x > 0\), окончательный ответ: \(x \in (0; 3]\).

Перейдем ко второму неравенству \(2x^2 — 11x — 6 \geq 0\). Найдем дискриминант уравнения \(2x^2 — 11x — 6 = 0\): \(D = (-11)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{11 — 13}{4} = -0.5\) и \(x_2 = \frac{11 + 13}{4} = 6\). Неравенство \((x + 0.5)(x — 6) \geq 0\) выполняется при \(x \leq -0.5\) и \(x \geq 6\). Второе неравенство системы \(x + 4 \geq 0\) дает \(x \geq -4\). Объединяя результаты, получаем ответ: \(x \in [-4; -0.5] \cup [6; +\infty)\).

Рассмотрим третью систему неравенств. Первое неравенство \(x^2 — 9x — 10 \leq 0\). Дискриминант уравнения \(x^2 — 9x — 10 = 0\) равен \(D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{9 — 11}{2} = -1\) и \(x_2 = \frac{9 + 11}{2} = 10\). Неравенство \((x + 1)(x — 10) \leq 0\) выполняется на интервале \([-1; 10]\). Второе неравенство \(6x — x^2 < 0\) преобразуется в \(x^2 - 6x > 0\), что дает \(x(x — 6) > 0\). Это неравенство выполняется при \(x < 0\) и \(x > 6\). Объединяя результаты, получаем ответ: \(x \in [-1; 0) \cup (6; 10]\).

Четвертая система включает неравенства \(x^2 — x — 12 \geq 0\) и \(x^2 + 3x — 10 < 0\). Для первого неравенства дискриминант уравнения \(x^2 - x - 12 = 0\) равен \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4\). Неравенство \((x + 3)(x - 4) \geq 0\) выполняется при \(x \leq -3\) и \(x \geq 4\). Для второго неравенства дискриминант уравнения \(x^2 + 3x - 10 = 0\) равен \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5\) и \(x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2\). Неравенство \((x + 5)(x - 2) < 0\) выполняется на интервале \((-5; 2)\). Объединяя результаты, получаем ответ: \(x \in (-5; -3]\).