ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:
1) \(-6x^2 +13x — 5 \leq 0\), \(6-2x > 0\);
2) \(x^2 -7x — 18 < 0\), \(5x - x^2 \leq 0\).

1) Решим систему неравенств \(-6x^2 +13x — 5 \leq 0\) и \(6-2x > 0\).
Преобразуем первое неравенство: \(-6x^2 +13x — 5 \leq 0\) эквивалентно \(6x^2 -13x + 5 \geq 0\).
Найдем дискриминант: \(D = 13^2 — 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 — 120 = 49\).
Корни уравнения: \(x_1 = \frac{13 — 7}{12} = \frac{1}{2}\), \(x_2 = \frac{13 + 7}{12} = \frac{5}{3}\).
Решением первого неравенства являются \(x \leq \frac{1}{2}\) или \(x \geq \frac{5}{3}\).
Решим второе неравенство: \(6-2x > 0\) эквивалентно \(x < 3\). Общее решение системы: \(x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3)\). 2) Решим систему неравенств \(x^2 -7x - 18 < 0\) и \(5x - x^2 \leq 0\). Преобразуем первое неравенство: \(x^2 -7x - 18 < 0\). Найдем дискриминант: \(D = 7^2 + 4 \cdot 18 = 49 + 72 = 121\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{7 - 11}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{7 + 11}{2} = 9\). Решением первого неравенства являются \(-2 < x < 9\). Решим второе неравенство: \(5x - x^2 \leq 0\) эквивалентно \(x^2 - 5x \geq 0\). Корни уравнения: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 5\). Решением второго неравенства являются \(x \leq 0\) или \(x \geq 5\). Общее решение системы: \(x \in (-2; 0] \cup [5; 9)\).

1) Рассмотрим систему неравенств \(-6x^2 +13x — 5 \leq 0\) и \(6-2x > 0\). Начнем с первого неравенства \(-6x^2 +13x — 5 \leq 0\). Для удобства умножим обе части на \(-1\), что изменит знак неравенства: \(6x^2 -13x + 5 \geq 0\). Далее найдем дискриминант квадратного уравнения \(6x^2 -13x + 5 = 0\): \(D = (-13)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 — 120 = 49\). Корни уравнения находятся по формуле \(x = \frac{13 \pm \sqrt{49}}{12}\), то есть \(x_1 = \frac{13 — 7}{12} = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{13 + 7}{12} = \frac{5}{3}\). Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и решением неравенства \(6x^2 -13x + 5 \geq 0\) являются значения \(x \leq \frac{1}{2}\) или \(x \geq \frac{5}{3}\).

Теперь рассмотрим второе неравенство \(6-2x > 0\). Перенесем \(6\) в правую часть: \(-2x > -6\), затем разделим обе части на \(-2\), поменяв знак неравенства: \(x < 3\). Таким образом, второе неравенство выполняется при \(x < 3\). Объединим решения обоих неравенств. Первое неравенство требует \(x \leq \frac{1}{2}\) или \(x \geq \frac{5}{3}\), а второе — \(x < 3\). Следовательно, общее решение системы: \(x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3)\). 2) Рассмотрим систему неравенств \(x^2 -7x - 18 < 0\) и \(5x - x^2 \leq 0\). Начнем с первого неравенства \(x^2 -7x - 18 < 0\). Найдем дискриминант квадратного уравнения \(x^2 -7x - 18 = 0\): \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121\). Корни уравнения находятся по формуле \(x = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{2}\), то есть \(x_1 = \frac{7 - 11}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{7 + 11}{2} = 9\). Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и решением неравенства \(x^2 -7x - 18 < 0\) являются значения \(-2 < x < 9\). Теперь рассмотрим второе неравенство \(5x - x^2 \leq 0\). Преобразуем его к виду \(x^2 - 5x \geq 0\). Найдем корни уравнения \(x^2 - 5x = 0\): \(x_1 = 0\), \(x_2 = 5\). Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и решением неравенства \(x^2 - 5x \geq 0\) являются значения \(x \leq 0\) или \(x \geq 5\). Объединим решения обоих неравенств. Первое неравенство требует \(-2 < x < 9\), а второе — \(x \leq 0\) или \(x \geq 5\). Таким образом, общее решение системы: \(x \in (-2; 0] \cup [5; 9)\).