ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите целые решения системы неравенств:
1) \(-2x^2-5x +18 > 0\), \(x^2 +4x — 5 \leq 0\);
2) \(x^2-(\sqrt{5}-3)x-3/5 <0\), \(x^2 + x > 0\).

1)
Найти целые решения системы неравенств:
Первое неравенство:
\(-2x^2 — 5x + 18 \geq 0\); \(2x^2 + 5x — 18 \leq 0\);
\(D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 18 = 25 + 144 = 169\), тогда:
\(x_1 = \frac{-5 — 13}{2 \cdot 2} = -4,5\) и \(x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 2} = 2\);
\((x + 4,5)(x — 2) \leq 0\); \(-4,5 \leq x \leq 2\);

Второе неравенство:
\(x^2 + 4x — 5 \leq 0\); \(D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36\), тогда:
\(x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5\) и \(x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1\);
\((x + 5)(x — 1) \leq 0\); \(-5 \leq x \leq 1\);

Решения системы: \(x \in [-4,5; 1]\);
Ответ: \(-4; -3; -2; -1; 0; 1\).

2)
Первое неравенство:
\(x^2 — (\sqrt{5} — 3)x — 3\sqrt{5} \leq 0\);
\(D = (\sqrt{5} — 3)^2 + 4 \cdot 3\sqrt{5} = 5 — 6\sqrt{5} + 9 + 12\sqrt{5}\);
\(D = 5 + 6\sqrt{5} + 9 = (\sqrt{5} + 3)^2\), тогда:
\(x_1 = \frac{(\sqrt{5} — 3) — (\sqrt{5} + 3)}{2} = -3\);
\(x_2 = \frac{(\sqrt{5} — 3) + (\sqrt{5} + 3)}{2} = \sqrt{5}\);
\((x + 3)(x — \sqrt{5}) \leq 0\); \(-3 \leq x \leq \sqrt{5}\);

Второе неравенство:
\(x^2 + x > 0\); \((x + 1)x > 0\); \(x < -1\) или \(x > 0\);

Решения системы: \(x \in [-3; -1) \cup (0; \sqrt{5}]\);
Ответ: \(-3; -2; 1; 2\).

Первое неравенство системы \((-2x^2 — 5x + 18 \geq 0)\) преобразуется к виду \(2x^2 + 5x — 18 \leq 0\) для удобства решения. Дискриминант этого квадратного уравнения вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = -18\). Подставляя значения, получаем \(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169\). Корни уравнения находятся по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), что дает \(x_1 = \frac{-5 — 13}{4} = -4,5\) и \(x_2 = \frac{-5 + 13}{4} = 2\). Таким образом, неравенство \(2x^2 + 5x — 18 \leq 0\) выполняется на интервале \(-4,5 \leq x \leq 2\), что можно записать в виде \((x + 4,5)(x — 2) \leq 0\).

Второе неравенство системы \(x^2 + 4x — 5 \leq 0\) также решается через дискриминант. Здесь \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), и \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Корни уравнения \(x = \frac{-4 \pm 6}{2}\) равны \(x_1 = -5\) и \(x_2 = 1\). Неравенство \(x^2 + 4x — 5 \leq 0\) выполняется на интервале \(-5 \leq x \leq 1\), что соответствует \((x + 5)(x — 1) \leq 0\).

Решением системы неравенств является пересечение интервалов, полученных из первого и второго неравенств. Первое неравенство дает \(-4,5 \leq x \leq 2\), а второе \(-5 \leq x \leq 1\). Пересечение этих интервалов \(-4,5 \leq x \leq 1\). Целыми решениями на этом интервале являются числа \(-4, -3, -2, -1, 0, 1\).

Во второй системе первое неравенство \(x^2 — (\sqrt{5} — 3)x — 3\sqrt{5} \leq 0\) решается через дискриминант. Здесь \(a = 1\), \(b = -(\sqrt{5} — 3)\), \(c = -3\sqrt{5}\), и \(D = (\sqrt{5} — 3)^2 + 4 \cdot 3\sqrt{5} = 5 — 6\sqrt{5} + 9 + 12\sqrt{5} = 14 + 6\sqrt{5}\). Корни уравнения \(x = \frac{\sqrt{5} — 3 \pm (\sqrt{5} + 3)}{2}\) равны \(x_1 = -3\) и \(x_2 = \sqrt{5}\). Неравенство выполняется на интервале \(-3 \leq x \leq \sqrt{5}\), что соответствует \((x + 3)(x — \sqrt{5}) \leq 0\).

Второе неравенство системы \(x^2 + x > 0\) решается через разложение на множители \((x + 1)x > 0\). Это неравенство выполняется при \(x < -1\) или \(x > 0\). Решением системы является пересечение интервалов \(-3 \leq x \leq \sqrt{5}\) и \(x < -1\) или \(x > 0\), что дает \(x \in [-3; -1) \cup (0; \sqrt{5}]\). Целыми решениями на этом интервале являются числа \(-3, -2, 1, 2\).